\begin{exercice}[Vers un nombre connu][\algo]\label{somme_inverse_carre}
On considère la suite $(u_n)$ de terme général $\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}$ pour tout $n\in\N^*$ c'est-à-dire $u_n=\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}+\ldots+\dfrac{1}{n^2}$.
\begin{enumerate}
  \item \'Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
  \item \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\dfrac{1}{k^2}\leqslant \dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}$ pour tout $k\geqslant 2$.
  \item En déduire que $u_n\leqslant 2-\dfrac{1}{n}$ puis que $(u_n)$ est\linebreak majorée.
\end{enumerate}
  \item Que peut-on en déduire pour la convergence éventuelle de la suite $(u_n)$ ?
  \item \begin{enumerate}
          \item Dans un logiciel ou sur la calculatrice, écrire un algorithme :
          \begin{itemize}
            \item demandant à l'utilisateur de saisir une valeur de $n$ ;
            \item donnant en sortie la valeur $u_n$ et la valeur $\sqrt{6u_n}$ correspondantes.
          \end{itemize}
          \item Tester l'algorithme.
          \item Conjecturer la limite de $(u_n)$.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{exercice}

