\begin{exercice} On considère une variable aléatoire $X_n$ suivant la loi binomiale de paramètres $n$ et $\nombre{0,5}$ où $n\geqslant 3$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=P(X_n=2)$ pour tout $n$ entier vérifiant $n\geqslant 3$.

On rappelle que pour tout entier $k$ entre $0$ et $n-1$, on a $\covec{n+1}{k+1}=\covec{n}{k+1}+\covec{n}{k}$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $u_n=\covec{n}{2}\nombre{0,5}^n$ pour tout $n\geqslant 3$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $\covec{n}{1}$, $\covec{n}{2}$, \nombre{0,5} et $n$.
          \item On admet que $\covec{n}{1}\leqslant \covec{n}{2}$ pour tout $n\geqslant 3$.

              Montrer que $(u_n)$ est décroissante.
        \end{enumerate}
  \item En déduire que $(u_n)$ est une suite convergente.
\end{enumerate}
\end{exercice}

