\begin{exercice}On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et ${u_{n+1}=f(u_n)}$ pour tout $n\in\N$ où $f$ est la fonction définie sur $\R\setminus\left\{\dfrac{5}{12}\right\}$ par $f(x)=\dfrac{-60x+68}{-12x+5}$.
\begin{enumerate}
  \item \'Etudier les variations de $f$.
  \item Montrer que si $x\in[2\ ; 4]$ alors $f(x)\in[2\ ; 4]$.
  \item En déduire que $(u_n)$ est bornée par $2$ et $4$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Montrer que
            $u_{n+1}-u_n=\dfrac{12u_n^2-65u_n+68}{-12u_n+5}$.\\[1mm]
          \item Dresser le tableau de signe de $\dfrac{12x^2-65x+68}{-12x+5}$.
          \item En déduire que $(u_n)$ est croissante.
        \end{enumerate}
  \item Que peut-on en déduire sur le comportement de $(u_n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

