\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{methode5-limA1}]
\label{exmethode5-limA1}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et ${u_{n+1}=\dfrac{1}{10}(u_n+1)^2}$ pour tout $n\in\N$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\in\N$.
  \item En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
  \item On admet que la limite $\ell$ de la suite vérifie
    
    {\centering$\ell=\dfrac{1}{10}(\ell+1)^2\textrm{ et }\ell\leqslant
      5.$
      \par\vspace{1mm}} Déterminer cette limite.
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item On veut montrer que $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n\geqslant 0$.
  \begin{itemize}
  \item On considère la propriété : \og $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ \fg{}.
  \item Initialisation : Pour $n=0$, on a $u_0=5$ et $u_1=\nombre{3,6}$.

On a $0\leqslant u_{1} \leqslant u_0$ : la propriété est vraie pour $n=0$.
  \item Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang $n\geqslant0$ alors elle est vraie au rang $n+1$.

Supposons donc que $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$, on a alors :
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{eqnarray*}
                             &0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n& \\
                            &1\leqslant u_{n+1}+1 \leqslant u_n+1& \\
                            &1^2\leqslant (u_{n+1}+1)^2 \leqslant (u_n+1)^2&\\
                            &\dfrac{1}{10}\leqslant \dfrac{1}{10}(u_{n+1}+1)^2 \leqslant \dfrac{1}{10}(u_n+1)^2&
                          \end{eqnarray*}
car la fonction carrée est croissante sur $\R^+$.

On en déduit que $0\leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$, c'est-à-dire que la propriété est vraie au rang $n+1$.
 \item La propriété est vraie pour $n=0$ et est héréditaire ; donc par récurrence elle est vraie pour tout $n\geqslant0$ c'est-à-dire que $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n\geqslant 0$.
\end{itemize}
  \item \textcolor{G1}{\textbullet{}} Comme $u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n\in \N$, la suite est décroissante.
        \begin{itemize}
          \item  De plus, $0\leqslant u_n$, c'est-à-dire que la suite est minorée par $0$.
        \end{itemize}
  La suite $(u_n)$ est décroissante et minorée : elle est convergente.
  \item $\ell=\dfrac{1}{10}(\ell+1)^2\Leftrightarrow 10\ell=\ell^2+2\ell+1$

      $\Leftrightarrow\ell^2-8\ell+1=0$.

      Cette équation résolue, on trouve deux solutions :

      $\ell_1=4-\sqrt{15}\approx\nombre{0,13}$ et $\ell_1=4+\sqrt{15}\approx \nombre{7,87}$.

      Comme on admet d'après l'énoncé que $\ell\leqslant 5$, on en déduit que la limite de la suite est $4-\sqrt{15}$.
\end{enumerate}
  \end{corrige}
  \end{exercice*}

