\begin{exercice} On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout ${n\in\N^*}$ par $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{n^2+k}}$.
\begin{enumerate}
  \item Calculer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
  \item Soit $k$ un entier tel que $1\leqslant k\leqslant n$.
  \begin{enumerate}
          \item Montrer que $n\leqslant \sqrt{n^2+k}\leqslant n+1$.
          \item En déduire un encadrement de $u_n$.
        \end{enumerate}
  \item Déterminer $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n$.
  \item Déterminer de même $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{n^2+k}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

