\begin{exercice} Dans cet exercice, on suppose admis les deux\linebreak résultats suivants :
  \begin{itemize}
    \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \sqrt{n+1}=+\infty$ ;
    \item $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}=\dfrac{1}{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}}$ pour tout $k\in\N$.
  \end{itemize}\medskip
  On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N^*$ par $u_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\sqrt{k}}$ c'est-à-dire ${u_n=\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}}$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $2\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\right)\leqslant \dfrac{1}{\sqrt{k}}$ pour tout entier $k$ non nul.
    \item En déduire que $2\sqrt{n+1}-2\leqslant u_n$.
    \item En déduire $\displaystyle\lim_{n\rightarrow +\infty} u_n$.\smallskip

    %Cette limite se note aussi $\displaystyle\sum_{k=1}^{+\infty}\dfrac{1}{\sqrt{k}}$.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

