\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{methode4-limA1}]
\label{exmethode4-limA1}
Déterminer les limites suivantes :\smallskip
\begin{enumerate}
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{\cos(n)}{n^2}$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^3+3\sin(n)$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} -5n^4+2n^4\sin\left(\sqrt{n}\right)$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^4-n^3\cos\left(n^5\right)$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{(-1)^n}{n}$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2+\left(\sin\left(n^3\right)+\cos\left(n^2\right)\right)n$
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \left(3+(-1)^n\right)\nombre{0,7}^n$
\end{enumerate}


\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item Par encadrements successifs, on a $-\dfrac{1}{n^2}\leqslant \dfrac{\cos(n)}{n^2}\leqslant \dfrac{1}{n^2}$.

       De plus $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} -\dfrac{1}{n^2}=0$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n^2}=0$ donc
  $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{\cos(n)}{n^2}=0$ par le théorème des gendarmes.
  \item Par inégalités successives, on a $n^3-3\leqslant n^3+3\sin(n)$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^3-3=+\infty$ donc
  $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^3+3\sin(n)=+\infty$ par comparaison.
  \item Par inégalités successives, on a $-5n^4+2n^4\sin\left(\sqrt{n}\right)\leqslant -5n^4+2n^4=-3n^4$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} -3n^4=-\infty$ donc
      $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} -5n^4+2n^4\sin\left(\sqrt{n}\right)=-\infty$ par comparaison.
  \item De même, $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^4-n^3\cos\left(n^5\right)=+\infty$ par comparaison.
  \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{(-1)^n}{n}=0$ par le théorème des gendarmes (idem question 1).
  \item  Par inégalités successives, on a $n^2-2n\leqslant n^2+\left(\sin\left(n^3\right)+\cos\left(n^2\right)\right)n$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2-2n=+\infty$ donc
  $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n^2+\left(\sin\left(n^3\right)+\cos\left(n^2\right)\right)n=+\infty$ par comparaison.
  \item Par encadrements successifs, on a $2\times\nombre{0,7}^n\leqslant \left(3+(-1)^n\right)\nombre{0,7}^n\leqslant 4\times\nombre{0,7}^n$.

       De plus $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 2\times\nombre{0,7}^n=0$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 4\times\nombre{0,7}^n=0$ car $-1<\nombre{0,7}<1$ donc
  $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \left(3+(-1)^n\right)\nombre{0,7}^n=0$ par le théorème des gendarmes.
\end{enumerate}

  \end{corrige}
  \end{exercice*}

