\begin{exercice}[Trois opérations sur les limites][\roc]\label{operations-limA1}
    \partie[Une somme]
    \vspace{-0.25\baselineskip}On souhaite démontrer la propriété : Si $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} v_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n+v_n=+\infty$.\smallskip

     \vspace{-0.25\baselineskip}Soit $A$ un réel et $A'=\dfrac{A}{2}$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que $u_n>A'$ à partir d'un certain rang que l'on nommera $n_1$ et que $v_n>A'$ à partir d'un certain rang que l'on nommera $n_2$.
  \item \begin{enumerate}
          \item \`A partir de quel rang a-t-on simultanément les\linebreak inégalités
          $u_n>A'$ et $v_n>A'$ ?
          \item En déduire que $u_n+v_n>A$ à partir de ce rang.
        \end{enumerate}
  \item Conclure.
\end{enumerate}
\partie[Une différence]
    \vspace{-0.25\baselineskip}On souhaite démontrer la propriété : Si $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} v_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n-v_n=-\infty$.\smallskip

     \vspace{-0.25\baselineskip}Soit $A$ un réel et $A'=\dfrac{A}{2}$.
\begin{enumerate}
  \item Justifier qu'il existe un rang à partir duquel on a\linebreak simultanément les inégalités
          $u_n<A'$ et $v_n>-A'$.
  \item En déduire que $u_n-v_n<A$ à partir de ce rang.
  \item Conclure.
\end{enumerate}

\partie[Un produit]
    \vspace{-0.25\baselineskip}On souhaite démontrer la propriété  : Si $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} v_n=+\infty$ alors $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n\times v_n=+\infty$.

\vspace{-2mm}
    \begin{enumerate}
    \item Soit $A$ un réel.  Si $A\leqslant 0$.
      \begin{enumerate}
        \item Justifier qu'il existe un rang à partir duquel on a $u_n>0$ \textbf{et} $v_n>0$.
        \item Comparer $u_n\times v_n$ et $A$ à partir de ce rang.
      \end{enumerate}
      \item Si $A>0$, posons $A'=\sqrt{A}$.
        \begin{enumerate}
        \item Justifier qu'il existe un rang à partir duquel on a $u_n>A'$ \textbf{et} $v_n>A'$.
        \item Comparer $u_n\times v_n$ et $A$ à partir de ce rang.
      \end{enumerate}
  \item Conclure.
\end{enumerate}

%On propose une démonstration avec un quotient à l'exercice \RefExercice{operation-quotient} page %\pageref{operation-quotient}.
  \end{exercice}

