\begin{exercice}[Suites mêlées]
  On considère les suites mêlées $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par $u_0=-10$, $v_0=20$ et :
  $$\left\{\begin{array}{l}
  u_{n+1}=\nombre{0,7}u_n+\nombre{0,8}v_n\\
  v_{n+1}=\nombre{0,8}u_n+\nombre{0,7}v_n\\
  \end{array}\right.\textrm{ pour tout }n\in\N.$$
  \begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
            \item Calculer $u_1$, $v_1$, $u_2$ et $v_2$.
            \item Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles arithmétiques ? géométriques ?
          \end{enumerate}

    \item \begin{enumerate}
            \item Montrer que la suite $(a_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par $a_n=u_n+v_n$ est géométrique.
            \item En déduire le terme général de $(a_n)$ puis $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n$.
          \end{enumerate}
    \item\begin{enumerate}
            \item Montrer que la suite $(b_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par $b_n=u_n-v_n$ est géométrique.
            \item En déduire le terme général de $(b_n)$ puis $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} b_n$.
            \item Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont-elles convergentes ?
          \end{enumerate}
    \item Déduire des questions précédentes les termes généraux de $(u_n)$ et $(v_n)$.
    \item Déterminer
      $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n u_k$.
  \end{enumerate}

  \end{exercice}

