\begin{exercice}[Limite d'une expression polynomiale]\label{hautdegre1}
  \vspace{-0.25\baselineskip}\partie[Cas général]
 \vspace{-0.25\baselineskip}On considère une suite $(u_n)$ dont le terme général est une expression polynomiale de degré $k$ c'est-à-dire que $\displaystyle u_n=\sum_{i=0}^ka_in^i$ avec $a_i\in\R$ pour tout $i$ et $a_k\neq 0$.

 Par exemple, $2n^5+3n^4-5n^2+12$ est de degré $5$.
    \begin{enumerate}
           %\item Donner $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n$ dans le cas où cette expression %est de degré $k=0$.
           \item Pour $k\neq 0$, $(u_n)$ est de degré $k\geqslant 1$ donc de la forme :
               \begin{itemize}
                 \item $a_1n+a_0$ avec $a_1\neq0$ pour $k=1$ ;
                 \item $a_kn^k+a_{k-1}n^{k-1}+\ldots+a_0$ avec $a_k\neq 0$ pour $k\geqslant 2$.
               \end{itemize}
                \vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
                    \item Factoriser $a_kn^k+\ldots+a_0$ par $n^k$ puis
                    simplifier l'expression obtenue.
                    \item Déterminer $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} a_k+\ldots+\dfrac{a_0}{n^k}$.
                \end{enumerate}
           \vspace{-\baselineskip}\item En déduire que $(u_n)$ a la même limite que son terme de plus haut degré.
    \end{enumerate}
  \vspace{-0.25\baselineskip}\partie[Applications]
   \vspace{-0.25\baselineskip}En utilisant le résultat démontré à la partie précédente, calculer sans factoriser :
    \begin{enumerate}
      \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} 5n^4+12n^3-3n^2+5n+15$
      \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} -\pi n^8+\nombre{10000000}n^7$
      \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{3n^6-5n^5+12n^4-7n^3+8n^2+5n+15}{-7}$
    \end{enumerate}
  \end{exercice}

