\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{methode3A1}]\label{exmethode3A1}
\vspace{-1\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Montrer que la suite de terme général :
\begin{enumerate}
\item  $n^2-4n+6$ est minorée et en donner un minorant ;
\item  $-3n^2+9n-4$ est majorée et en donner un majorant ;
\item $\dfrac{n^2+\cos(n)}{n+1}$ est minorée et en donner un minorant (indication : $n^2-1=(n-1)(n+1)$) ;

\vspace{1mm}
\item $\dfrac{8n+1}{n+5}$ est bornée par $0$ et $8$ ;

\vspace{1mm}
\item $\dfrac{-n^2-2n+1}{n^2+3n+2}$ est bornée par $-1$ et $\dfrac{1}{2}$ ;
\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et $u_{n+1}=2\sqrt{u_n-1}$ est bornée par $2$ et $5$.
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item La fonction $f:x\mapsto x^2-4x+6$ est minorée par l'ordonnée du sommet de sa parabole soit $f\left(-\dfrac{-4}{2}\right)=f(2)=2$ donc la suite de terme général $n^2-4n+6$ est minorée par $2$.
          \item De même, la suite de terme général $-3n^2+9n-4$ est majorée par $\nombre{2,75}$.
          \item Par inégalités successives, on a $\dfrac{n^2-1}{n+1}\leqslant \dfrac{n^2+\cos(n)}{n+1}$

              $\Leftrightarrow \dfrac{(n-1)(n+1)}{n+1}\leqslant \dfrac{n^2+\cos(n)}{n+1}$

              $\Leftrightarrow n-1\leqslant \dfrac{n^2+\cos(n)}{n+1}$.
              Or $-1\leqslant n-1$ pour $n\in\N$ donc $-1\leqslant \dfrac{n^2+\cos(n)}{n+1}$ pour tout $n\in\N$ donc la suite est minorée par $-1$.
            \item  \begin{itemize}
                   \item Pour $n\in\N$, $8n+1>0$ et $n+5>0$ donc $\dfrac{8n+1}{n+5}>0$ : la suite est minorée par 0.
                   \item
                     $\dfrac{8n+1}{n+5}-8=\dfrac{-39}{n+5}<0$ pour tout $n\in\N$.

                   On en déduit que $\dfrac{8n+1}{n+5}<8$ pour tout $n\in \N$ autrement dit, que la suite est majorée par $8$.
                 \end{itemize}

         \item \begin{itemize}
           \item
             $\dfrac{-n^2-2n+1}{n^2+3n+2}-(-1)=\dfrac{n+3}{n^2+3n+2}>0$
             pour tout $n\in\N$ donc $\dfrac{-n^2-2n+1}{n^2+3n+2}>-1$
             : la suite est minorée par $-1$.

            \item $\dfrac{-n^2-2n+1}{n^2+3n+2}-\dfrac{1}{2}$
              $=\dfrac{-3n^2-7n}{2(n^2+3n+2)}<0$ $\dfrac{-n^2-2n+1}{n^2+3n+2}<\dfrac{1}{2}$ : la
              suite est majorée par $\dfrac{1}{2}$.
                \end{itemize}
        \end{enumerate}
        \setcounter{enumi}{1}
  \item Montrons que  $2\leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout $n\geqslant 0$.
\begin{itemize}
  \item On considère la propriété : \og $2\leqslant u_n \leqslant 5$ \fg{}.
  \item Initialisation : Pour $n=0$, on a $u_0=5$.

$2\leqslant u_0 \leqslant 5$ : la propriété est vraie pour $n=0$.
  \item Hérédité : 

Supposons que $2\leqslant u_n \leqslant 5$ :
\vspace{-0.5\baselineskip}
\begin{eqnarray*}
2\leqslant u_n \leqslant 5& 
1\leqslant u_n-1 \leqslant 4 \\
  1\leqslant \sqrt{u_n-1} \leqslant2 &
  2\leqslant 2\sqrt{u_n-1} \leqslant4
\end{eqnarray*}
On en déduit que $2\leqslant u_{n+1} \leqslant 5$, c'est-à-dire que la propriété est vraie au rang $n+1$.
 \item Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$ et est héréditaire ; donc par récurrence elle est vraie pour tout $n\geqslant0$ c'est-à-dire que $2\leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout $n\geqslant 0$.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

