\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{methode2A1}]\label{exmethode2A1}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=\nombre{0,8}$ et $u_{n+1}=(u_n)^2$ pour tout entier $n\geqslant0$.

On donne ci-dessous la courbe de la fonction carrée et la droite d'équation $y=x$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,x=3.0cm,y=3.0cm]

\draw[quadrillageNIV2, xstep=0.2, ystep=0.2](-0.2,0) grid(1.2,1.2);

\axeX{-0.2}{1.2}{-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1};
\axeY{0}{1.2}{0.2,0.4,0.6,0.8,1};




%\clip(-0.3,-0.3) rectangle (1.2,1.2);
\draw[smooth,samples=100,domain=-0.2:1.095,color=J1] plot(\x,{(\x)^2});
\draw [domain=0:1.2,color=BleuOuv] plot(\x,{(-0--1*\x)/1});

\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-1.5\baselineskip}\begin{enumerate}
\item \`A l'aide du graphique ci-dessus, conjecturer les\linebreak variations de la suite $(u_n)$.
\item Montrer par récurrence que $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$ pour tout $n\geqslant0$.

Que peut-on en déduire sur les variations de $(u_n)$ ?
\end{enumerate}

\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item On constate ci-dessous que la suite semble décroissante :\smallskip

  \begin{tikzpicture}[general,x=2.5cm,y=2.5cm]

\draw[quadrillageNIV2, xstep=0.2, ystep=0.2](-0.2,0) grid(1.2,1.2);

\axeX{-0.2}{1.2}{0,1};
\axeY{0}{1.2}{0.2,0.4,0.6,0.8,1};

\draw [Noir,dashed,thin] (0.8,0)-- (0.8,0.64)--(0.64,0.64)--(0.64,0.4096)-- (0.4096,0.4096)--(0.4069,0.16777)--(0.16777,0.16777);
\draw [Noir,dashed,thin] (0.64,0)-- (0.64,0.64);
\draw [Noir,dashed,thin] (0.4096,0)-- (0.4096,0.4096);
\draw [Noir,dashed,thin] (0.16777,0)-- (0.16777,0.16777);

%\clip(-0.3,-0.3) rectangle (1.2,1.2);
\draw[smooth,samples=100,domain=-0.2:1.095,color=J1] plot(\x,{(\x)^2});
\draw [domain=0:1.2,color=BleuOuv] plot(\x,{(-0--1*\x)/1});

\draw (0.8,0) node[below,color=F1] {$u_0$};
\draw (0.64,0) node[below,color=F1] {\small$u_1$};
\draw (0.4096,0) node[below,color=F1] {\small$u_2$};
\draw (0.16777,0) node[below,color=F1] {\small$u_3$};
\end{tikzpicture}
\item Montrons que $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout
  $n\geqslant 0$.
  \begin{itemize}
  \item On considère la propriété : \og $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$ \fg{}.
  \item Initialisation : Pour $n=0$, on a $u_0=\nombre{0,8}$ et $u_1=\nombre{0,64}$.
    On a $0\leqslant u_{1} \leqslant u_0$ : la propriété est vraie
    pour $n=0$.
  \item Hérédité : On va montrer que si la propriété est vraie à un certain rang $n\geqslant0$ alors elle est vraie au rang $n+1$.

Supposons donc que $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$, on a alors :
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{eqnarray*}
                             &0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n& \\
                            &0^2\leqslant u_{n+1}^2 \leqslant u_n^2&\textrm{ car la fonction carrée } \\
                            &0\leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}&
                                                                   \text{
                                                                    est
                                                                    croissante
                                                                    sur
                                                                    }\R^+
                          \end{eqnarray*}
\\[-3mm]
On en déduit que $0\leqslant u_{n+2} \leqslant u_{n+1}$, c'est-à-dire que la propriété est vraie au rang $n+1$.
 \item Conclusion : La propriété est vraie pour $n=0$ et est
   héréditaire ; donc par récurrence elle est vraie pour tout
   $n\geqslant0$ c'est-à-dire que $0\leqslant u_{n+1} \leqslant u_n$
   pour tout $n\geqslant 0$. Comme $u_{n+1} \leqslant u_n$ pour tout $n\in \N$, la suite est décroissante.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

