\begin{exercice}
On considère la suite $(u_n)$ définie  par $u_0=1$ et ${u_{n+1}=\dfrac{1}{4}u_n+3}$ pour tout entier $n\geqslant0$.

On a donc $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{1}{4}x+3$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous avec la droite d'équation $y=x$ :
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,x=1.0cm,y=1.0cm,scale=0.7]

\draw[quadrillageNIV2, xstep=1, ystep=1](0,0) grid(5,5);

\axeX{0}{5}{0,2,4,5};
\axeY{0}{5}{0,1,2,3,4,5};
%\clip(-1,-1) rectangle (5,5);
\draw [Noir,dashed,thin] (1,0)-- (1,3.25)--(3.25,3.25)--(3.25,0);
\draw (1,0) node[below,color=F1] {$u_0$};
\draw (3.25,0) node[below,color=F1] {\small$u_1$};

\draw[smooth,samples=100,domain=0:5.0,color=J1] plot(\x,{0.25*(\x)+3});
\draw [domain=0:5,color=BleuOuv] plot(\x,{(-0--1*\x)/1});
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-1.5\baselineskip}\begin{enumerate}
\item Reproduire la figure et y construire sans calcul les points d'abscisses $u_2$ et $u_3$ sur l'axe des abscisses.
\item \begin{enumerate}
        \item Entre quels entiers consécutifs peut-on conjecturer que tous les termes de la suite sont compris à partir du rang $1$ ?
        \item Démontrer cette conjecture.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}


