\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{methode1A1}]\label{exmethode1A1}
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=5$ et ${u_{n+1}=\dfrac{1}{2}u_n+1}$ pour tout $n\in\N$.\smallskip

Montrer par récurrence que $2\leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout entier $n\geqslant0$.

\begin{corrige}
%On veut montrer que  $2\leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout $n\geqslant 0$.
\begin{itemize}
  \item On considère la propriété : \og $2\leqslant u_n \leqslant 5$ \fg{}.
  \item Initialisation : Pour $n=0$, on a $u_0=5$.
Donc $2\leqslant u_0 \leqslant 5$ : la propriété est vraie pour $n=0$.
  \item Hérédité : si la propriété est vraie à un certain rang $n\geqslant0$ alors elle est vraie au rang $n+1$.

Supposons donc que $2\leqslant u_n \leqslant 5$, on a alors :
\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{eqnarray*}
                             &2\leqslant u_n \leqslant 5& \\
                            &1\leqslant \dfrac{1}{2}u_n \leqslant \nombre{2,5}& \\
                            &2\leqslant \dfrac{1}{2}u_n+1 \leqslant \nombre{3,5}.&
                          \end{eqnarray*}
\\[-3mm]
On en déduit que $2\leqslant u_{n+1} \leqslant 5$, c'est-à-dire que la propriété est vraie au rang $n+1$.
 \item La propriété est vraie pour $n=0$ et est héréditaire ; par récurrence elle est vraie pour tout $n\geqslant0$ c'est-à-dire que $2\leqslant u_n \leqslant 5$ pour tout $n\geqslant 0$.
\end{itemize}

\enlargethispage{\baselineskip}
\end{corrige}
\end{exercice*}

