\begin{exercice}On considère la propriété \og $3^n \geqslant 1+2n$ \fg{} dont on souhaite démontrer qu'elle est vraie pour tout entier $n\geqslant0$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que la propriété est initialisée.
  \item Dans cette question, on décompose le travail à faire au brouillon pour justifier l'hérédité.
  \begin{enumerate}
          \item \'Ecrire l'hypothèse de récurrence.  \label{rec1}
          \item \'Ecrire la propriété au rang $n+1$ (on simplifiera le membre de droite de l'inégalité). \label{rec2}
          \item Multiplier les deux membres de l'inégalité de la question \RefItem{rec1} par $3$ puis les simplifier.\label{rec3}
          \item Justifier que $3+6n\geqslant 3+2n$ pour tout $n\geqslant 0$.
        \end{enumerate}
  \item Rédiger intégralement le raisonnement par récurrence permettant de justifier la propriété souhaitée.
\end{enumerate}
  \begin{cadre}[A1][A4]\`A la question \RefItem{rec3}, plutôt que de multiplier par $3$, on aurait pu ajouter $2$ aux deux membres de l'inégalité pour \og passer \fg{} de $1+2n$ à $3+2n$ mais il aurait été plus difficile de conclure ensuite.
\end{cadre}
\end{exercice}

