\begin{exercice}
    \'Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\N$ par :
      \begin{colenumerate}{2}
      \item ${u_n} = 5-4^n$
      \item ${u_n} = 5{n^2} + 4$
      \item ${{u_{n + 1}} = {u_n}+n+1\textrm{ et }{u_0} = 1}$
      \item ${u_n} = 3\times 2^{n+1}$
      \item ${u_n} = (-1)^n\times n$
      \end{colenumerate}

      \begin{corrige}
       \begin{enumerate}
      \item $u_{n+1}-u_n =5-4^{n+1}-\left(5-4^n\right)$

      $=5-4^{n+1}-5+4^n=4^n(-4+1)=-3\times 4^n<0$ pour tout $n\in\N$ donc $(u_n)$ est décroissante.
      \item $u_{n+1}-u_n=5(n+1)^2 + 4-\left(5n^2 + 4\right)$

      $=5(n^2+2n+1)+4-5n^2-4=10n+5>0$ pour tout $n\in\N$ donc $(u_n)$ est croissante.
      \item $u_{n + 1}-u_n=n+1>0$ pour tout $n\in\N$ donc $(u_n)$ est croissante.
      \item $u_n>0$ pour tout $n\in\N$ et $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{3\times 2^{(n+1)+1}}{3\times 2^{n+1}}=\dfrac{2^{n+2}}{2^{n+1}}=2>1$ donc $(u_n)$ est croissante.
      \item $u_0=0$, $u_1=-1$ et $u_2=2$ donc $u_2-u_1>0$ et $u_1-u_0<0$ : la suite $(u_n)$ n'est ni croissante ni décroissante.
      \end{enumerate}
    \end{corrige}
    \end{exercice}

