\begin{exercice}[Binôme de Newton][\roc]
  Dans cet exercice, on souhaite démontrer la formule du binôme de
  Newton :

Soit deux réels $a$ et $b$. Pour tout entier $n\geqslant 1$, on a :
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\covec{n}{k}a^{n-k}b^k.$$

\vspace{-0.5\baselineskip}On rappelle que :
\begin{itemize}
  \item $\covec{n}{0}=\covec{n}{n}=1$ ;
  \item pour tout entier $k$ entre $0$ et $n-1$, on a :

  $\covec{n+1}{k+1}=\covec{n}{k+1}+\covec{n}{k}$.
\end{itemize}

\partie[Travail préliminaire]
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Montrer que :
  \begin{itemize}
  \item
    $\displaystyle
      a\sum_{k=0}^n\covec{n}{k}a^{n-k}b^k=a^{n+1}+\left[\sum_{k=1}^{n}\covec{n}{k}a^{n+1-k}b^k\right]$

    \vspace{2mm}

  \item
    $\displaystyle b\sum_{k=0}^n\covec{n}{k}a^{n-k}b^k\hspace{-1.2mm} =\hspace{-1.2mm}
    \left[\sum_{k=0}^{n-1}\covec{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}\right]\hspace{-1.2mm} +\hspace{-1.2mm} b^{n+1}$
  \end{itemize}
  \item \begin{enumerate}
          \item \'Ecrire les deux premiers et les deux derniers termes de la somme $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\covec{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}$.
          \item Recopier puis compléter les pointillés :
          $$\sum_{k=0}^{n-1}\covec{n}{k}a^{n-k}b^{k+1}=\sum_{k=1}^{n}\covec{n}{\ldots}a^{n+1-k}b^{\large \ldots}.$$
        \end{enumerate}
      \item En déduire que l'expression
        ${\displaystyle (a+b)\sum_{k=0}^n\covec{n}{k}a^{n-k}b^k}$ et
        l'expression
        $\displaystyle a^{n+1}\hspace{-1.2mm} +
        \hspace{-1.2mm}\left[\sum_{k=1}^{n}\covec{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k\right]
        \hspace{-1.2mm} + \hspace{-1.2mm} b^{n+1}$
        sont égales puis que :

  $\displaystyle (a+b)\sum_{k=0}^n\covec{n}{k}a^{n-k}b^k=\sum_{k=0}^{n+1}\covec{n+1}{k}a^{n+1-k}b^k$.
\end{enumerate}
\partie[Démonstration]
Démontrer la formule du binôme de Newton.
\end{exercice}
\partie[Application]
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Dresser le triangle de Pascal jusqu'à $n=6$.
  \item En déduire la forme développée de :
  \begin{colenumerate}{2}
    \item $(x+2)^5$
    \item $(4-\pi)^3$
    \item $\left(\sqrt{2}+2\right)^6$
    \item $\left(\sqrt{2}-2\right)^6$
  \end{colenumerate}
  \item Donner la fonction dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(x+2)^5$.
\end{enumerate}


