\begin{exercice} Soit $(u_n)$ une suite convergente vers un réel $\ell>0$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer qu'il existe un rang $n_0\geqslant 1$ à partir duquel\linebreak tous les termes de la suite sont strictement\linebreak supérieurs à $\dfrac{\ell}{2}$.
    \item En déduire que
      $\displaystyle \sum_{k=0}^nu_k > \sum_{k=0}^{n_0-1} u_k +
      \dfrac{(n+1-n_0)\ell}{2}$ pour tout $n\geqslant n_0$.
    \item En déduire
      $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} \sum_{k=0}^n u_k$.
  \end{enumerate}
 \end{exercice}

