\begin{exercice}[Unicité de la limite][\roc]\label{unicite_limite}
  Le but de cet exercice est de démontrer qu'une suite ne peut
  converger que vers une seule limite.\smallskip

    Pour cela, on procède par l'absurde. Soit donc une suite $(u_n)$ et supposons qu'il existe deux nombres réels $\ell$ et $\ell'$, avec $\ell<\ell'$, tels que $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=\ell$ et $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=\ell'$.
    \begin{enumerate}
      \item Dans un repère, placer deux réels distincts $\ell$ et $\ell'$, avec $\ell<\ell'$, sur l'axe des ordonnées.
      \item Matérialiser les deux intervalles $I=\left]-\infty;\dfrac{\ell+\ell'}{2}\right[$ et $I'=\left]\dfrac{\ell+\ell'}{2};+\infty\right[$ de deux couleurs différentes sur l'axe des ordonnées.
          \begin{enumerate}
            \item Justifier qu'il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ appartiennent à $I$.
            \item Même question avec l'intervalle $I'$.
            \item En déduire qu'il existe un rang à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ appartiennent à $I\cap I'$.
          \end{enumerate}
      \item Conclure.
    \end{enumerate}
  \end{exercice}

