\begin{exercice}[Limite d'un quotient][\roc]
    \label{operation-quotient} 
    L'objet de cet exercice est de démontrer la propriété du cours :
    Si $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=+\infty$ et
    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} v_n=0^+$ alors
    $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty}
    \dfrac{u_n}{v_n}=+\infty$.\medskip
    \begin{enumerate}
      \item Soit un réel $A\leqslant 0$.
      \begin{enumerate}
      \item Justifier qu'il existe un rang à partir duquel on a
        $u_n>0$ \textbf{et} $v_n>0$.
        \item Comparer $\dfrac{u_n}{v_n}$ et $A$ à partir de ce rang.
      \end{enumerate}
      \item Soit un réel $A>0$.
        \begin{enumerate}
        \item Justifier qu'il existe un rang à partir duquel on a $u_n>\sqrt{A}$.
        \item Justifier qu'il existe un rang à partir duquel on a $0<v_n<\dfrac{1}{\sqrt{A}}$.
        \item En déduire qu'il existe un rang à partir duquel on a
          $\dfrac{u_n}{v_n}>A$ puis conclure.
      \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

