\begin{exercice}Cet exercice utilise le résultat démontré dans la partie 1 du TP \ref{TP-heron} page \pageref{TP-heron-partie1} :
 \begin{cadre}[A1][A4]Si une suite $(u_n)$, minorée par un réel $m$, converge vers un réel $\ell$ alors $m\leqslant \ell$.
 \end{cadre}
 \partie[Résultat préliminaire]
 Montrer que si une suite $(u_n)$ converge alors la suite $(u_{2n})$ converge vers la même limite.
 \partie[\'Etude de la série harmonique]
On considère la suite $(u_n)$ de terme général $\displaystyle \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k}$ pour tout $n\in\N^*$ c'est-à-dire $u_n=\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{2}+\ldots+\dfrac{1}{n}$ (cette suite est appelée \og série harmonique \fg).
\begin{enumerate}
  \item \'Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
  \item \begin{enumerate}
        \item Simplifier $u_{2n}-u_n$.
        \item Combien reste-t-il de termes dans cette somme ? Quel est le plus petit de ces termes ?
        \item \begin{itemize}
          \item D'une part, en déduire que l'on a ${\displaystyle u_{2n}-u_n\geqslant\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}}$ ;
           \vspace{-0.5\baselineskip}\item D'autre part, montrer que $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}\dfrac{1}{2n}=\dfrac{1}{2}$.
        \end{itemize}
        \item En déduire une minoration de $u_{2n}-u_n$.\label{serieharmonique}
        \end{enumerate}
  \item Déduire de la question \RefItem{serieharmonique} que $(u_n)$ ne converge pas.
  \item Que peut-on en déduire pour la limite éventuelle de la suite $(u_n)$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

