\begin{exercice}[Suite arithmético-géométrique]
  On dit qu'une suite $(u_n)$ de premier terme $u_0$ non nul est
  arithmético-géométrique si elle est définie pour tout $n\in\N$ par
  $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\in\R\setminus\left\{0\ ;\ 1\right\}$ et
  $b\in\R^*$.
\partie[\'Etude générale]
 \vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Expliquer pourquoi on impose $a\neq0$, $a\neq 1$ et $b\neq 0$.
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ est constante si, et seulement si, $u_0=\dfrac{b}{1-a}$.\smallskip

  Dans la suite, on considère $u_0\neq\dfrac{b}{1-a}$  et on admet qu'alors, aucun terme de $(u_n)$ n'est égal à $\dfrac{b}{1-a}$.
  \item Justifier que la suite $(v_n)$ définie par ${v_n=u_n-\dfrac{b}{1-a}}$ pour tout $n\in \N$ est géométrique.
  \item En déduire le terme général de $(v_n)$ puis de $(u_n)$.
  \item \begin{enumerate}
          \item Donner une condition suffisante pour que $(u_n)$ converge.
  Quelle est alors sa limite ?
          \item Que peut-on dire de la limite éventuelle de $(u_n)$ dans le cas où $a>1$ ?
        \end{enumerate}
      \end{enumerate}

\vspace{-5mm}
      
\partie[Application]
  On considère la suite $(w_n)$ géométrique de raison $q$, avec $q\in\R\setminus\left\{0\ ;\ 1\right\}$, et de premier terme $w_0$ non nul et la suite $(S_n)$ définie pour tout $n\in\N^*$ par $S_n=\displaystyle \sum_{k=0}^nw_k$.
  \begin{enumerate}
    \item Montrer que $S_{n+1}=qS_n+w_0$.

    En déduire la nature de la suite $(S_n)$.
    \item En déduire le terme général de $(S_n)$ en fonction de $w_0$, $q$ et $n$.
    \item Déterminer sans calcul
      $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} S_n$ dans le cas où\linebreak
      $-1<q<1$.
  \end{enumerate}
\end{exercice}


