  \begin{exercice}[Limite d'un suite géométrique][\roc]\label{qpuissancen}
  Le but de cet exercice est de démontrer que :
  \begin{itemize}
    \item $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} q^n=0$ si $-1<q<1$ ;
    \item $q^n$ n'admet pas de limite quand $n$ tend vers $+\infty$ si $q<-1$.
  \end{itemize}

  Pour cela, on supposera connue la propriété :
  \begin{center}
  $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} q^n=+\infty$ si $q>1$.
  \end{center}
  \partie[Pour $0\leqslant q<1$]
   \vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
    \item Que peut-on dire de la suite de terme général $q^n$ quand $q=0$ ?
    \item On considère maintenant $q\in]0\ ;\ 1[$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que $\dfrac{1}{q}>1$.
    \item Conclure après avoir justifié que $q^n=\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{q}\right)^n}$.
  \end{enumerate}
  \end{enumerate}
   \vspace{-1.5\baselineskip}\partie[Pour $-1<q<0$]
  On considère $q\in]-1\ ;\ 0[$ et $I=]a\ ;\ b[$ un intervalle ouvert contenant $0$.
  \begin{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
            \item Tracer un tel intervalle $]a\ ;\ b[$ sur un axe des réels tel que $\vert a\vert<b$.
            \item Tracer l'intervalle $]a\ ;\ \vert a\vert[$ sur cet axe.
          \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
            \item Tracer un tel intervalle $]a\ ;\ b[$ sur un autre axe des réels tel que $\vert a\vert\geqslant b$.
            \item Tracer l'intervalle $]-b\ ;\ b[$ sur cet axe.
          \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}
            \item Soit $c=\textrm{min}(\vert a\vert\ ;\ b)$ le plus petit des deux nombres $\vert a\vert$ et $b$.
    Donner une relation d'inclusion entre les intervalles $]a\ ;\ b[$ et $]-c\ ;\ c[$.
            \item Justifier qu'il existe un rang à partir duquel on a $\vert q\vert^n\in]-c\ ;\ c[$.
            \item En déduire qu'il existe un rang à partir duquel $q^n\in]a\ ;\ b[$.
            \item Conclure.
          \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  \partie[Pour $q<-1$]
  On considère $q\in]-\infty\ ;\ -1[$ et les deux intervalles $I=]0\ ;\ +\infty[$ et $I'=]-\infty\ ;\ 0[$.
  \begin{enumerate}
    \item Justifier que l'on ne peut pas trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite $(q^n)$ sont dans $I$.
    \item Même question pour $I'$.
    \item Que peut-on en déduire en termes de limite ?
    \item Trouver un intervalle ouvert contenant $0$ ne contenant aucun terme de la suite $(q^n)$.

        Que peut-on en déduire en termes de limite ?
    \item Conclure.
    \end{enumerate}
  \end{exercice}


