\begin{activite}[Gendarmes et comparaison]

\partie[Théorème des gendarmes]\label{gendarmes1}
On considère la suite $(a_n)$ définie pour tout $n \geqslant 1$ par
$a_n = 1+\dfrac{\sin(n)}{n^2}$ dont on souhaite déterminer la limite.
\begin{enumerate}
  \item Peut-on déterminer $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n$ à l'aide des théorèmes d'opérations et des suites de référence ?
  \item Montrer que $1-\dfrac{1}{n^2}\leqslant a_n\leqslant 1+\dfrac{1}{n^2}$ pour tout $n\in\N^*$.
  \item \textbf{Vers un théorème}
   \begin{enumerate}
          \item Dans un repère, placer un réel $\ell$ sur l'axe $(Oy)$ et tracer la droite d'équation $y=\ell$.
          \item Représenter graphiquement deux suites $(u_n)$ et $(w_n)$ qui convergent vers $\ell$ et telles que que $u_n\leqslant w_n$ pour tout $n\in\N$.
          \item Représenter graphiquement une suite $(v_n)$ telle que $u_n\leqslant v_n\leqslant w_n$ pour tout $n\in\N$.
          \item Que peut-on penser de la limite éventuelle de la suite $(v_n)$ ?\label{gendarmes2}
        \end{enumerate}
   \item   En admettant la propriété observée à la question \RefItem{gendarmes2}, déterminer $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} a_n$.
  \end{enumerate}

  \partie[Théorème de comparaison]

  On considère la suite $(b_n)$ définie pour tout $n \geqslant 1$ par
  $b_n = n+\dfrac{\sin(n)}{n^2}$.
 \begin{enumerate}
 \item Justifier que $b_n\geqslant n-\dfrac{1}{n^2}$ pour tout
   $n \geqslant 1$.
 \item Calculer
   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} n-\dfrac{1}{n^2}$. Que
   peut-on alors penser de
   $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} b_n$ ?
 \item Expliquer la différence avec la méthode de la partie
   \RefPartie{gendarmes1}.
 \end{enumerate}


\end{activite}

