\begin{activite}[Une suite qui n'a vraiment aucune limite]\label{divergente}

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=(-1)^n$ pour tout $n\in \N$.
\begin{enumerate}
  \item Représenter graphiquement les 10 premiers termes de cette suite dans un repère.
  \item Quelle conjecture peut-on faire sur la limite éventuelle de cette suite ?
  \item Nous allons montrer que $(u_n)$ ne diverge pas vers $+\infty$, ne diverge pas vers $-\infty$ et ne converge vers aucun réel.
  \begin{enumerate}
          \item Trouver un nombre $A$ tel que $u_n\leqslant A$ pour tout $n\in \N$. Que vient-on de montrer ?
          \item Montrer de même que $(u_n)$ ne diverge pas vers $-\infty$.
          \item Dans cette question, on va montrer que $(u_n)$ ne converge vers aucun réel $\ell\leqslant 0$.

              Soit donc $\ell$ un réel tel que $\ell\leqslant0$.
          \begin{enumerate}
            \item Placer $\ell$ sur l'axe des ordonnées et y matérialiser l'intervalle $I=\left]-\infty\ ;\ \dfrac{1}{2}\right[$ (en rouge).
            \item Justifier que l'on ne peut pas trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $I$.\smallskip

  On vient de montrer que $(u_n)$ ne converge vers aucun réel négatif.
          \end{enumerate}
          \item Soit $\ell'$ un réel tel que $\ell'>0$.
          \begin{enumerate}
            \item Placer $\ell'$ sur l'axe des ordonnées et y matérialiser l'intervalle $I'=\left]-\dfrac{1}{2}\ ;\ +\infty\right[$ (en \nolinebreak[4]bleu).

            \item Justifier que l'on ne peut pas trouver un rang à partir duquel tous les termes de la suite sont dans $I'$.
            \item ~Que peut-on en déduire en terme de limite de $(u_n)$ ?
          \end{enumerate}
        \end{enumerate}
  \item Conclure.
\end{enumerate}



\end{activite}

