\begin{activite}[Dépassera, dépassera pas ?\label{activite1A1}][\tice{}
  \calculatrice{}]

Hugo et Léa aiment bien se défier sur des petits jeux : Hugo demande à Léa de choisir un nombre entre \nombre{1000} et \nombre{2000} et Léa choisit le nombre \nombre{1200}. Hugo lui dit :
\begin{itemize}
  \item Tu prends sa moitié puis tu lui ajoutes \nombre{5160}.
  \item Tu reprends la moitié du résultat obtenu puis tu ajoutes de nouveau \nombre{5160}.
  \item Tu peux continuer ainsi autant de fois que tu veux, je suis
    sûr que tu ne dépasseras jamais \nombre{11000} !\smallskip
\end{itemize}


Léa commence ses calculs. Après quelques étapes, elle dit : \og C'est étrange. Quand je vois les premiers nombres que j'obtiens, j'imagine que je vais dépasser \nombre{11000}. Je ne te crois pas ! \fg{}.
\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item \`A l'aide d'un tableur ou de la calculatrice, déterminer les
    premiers nombres obtenus par Léa après quelques étapes.
  \item Que peut-on penser de l'affirmation d'Hugo ?
  \item Le tableur permet-il d'affirmer qu'elle est toujours vraie,
    quel que soit le nombre d'étapes que fera Léa ?
  \end{enumerate}

  On modélise la situation à l'aide de la suite $(u_n)$ donnant le
  nombre obtenu après $n$ étapes, de sorte que $u_0=\nombre{1200}$.

\item   \begin{enumerate}
  \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.
  \item Pour justifier correctement l'affirmation d'Hugo, il faut
    procéder de \og proche en proche \fg{} : on dit que l'on fait un
    \textbf{raisonnement par récurrence}.
    \begin{enumerate}
    \item Traduire l'affirmation de Hugo par une relation sur $u_n$.
    \item L'affirmation d'Hugo est-elle vraie pour $n=0$ ? On dit que
      la propriété est \textbf{initialisée}.
    \item ~Soit $n$ un entier naturel. Supposons que
      $u_n\leqslant\nombre{11000}$.

      Montrer qu'alors le terme suivant $u_{n+1}$ est lui aussi
      inférieur à \nombre{11000}.\smallskip

      On vient de montrer que la propriété est \textbf{héréditaire},
      c'est-à-dire que si elle est vraie à un rang alors elle est
      également vraie au rang suivant (elle se transmet au rang
      suivant).
    \item ~Sans calcul, justifier que $u_1\leqslant \nombre{11000}$
      puis $u_2\leqslant \nombre{11000}$ puis
      $u_3\leqslant \nombre{11000}$, etc.
    \end{enumerate}
  \end{enumerate}
  \begin{cadre}[A1][A4]%On sait que la propriété est vraie pour $n=0$ et qu'elle est héréditaire, elle se %transmet donc au rang suivant et est alors vraie pour $n=1$ (c'est-à-dire que $u_1\leqslant %\nombre{11000}$).

    % Comme elle est vraie pour $n=1$ et qu'elle est héréditaire, elle est vraie pour $n=2$ (c'est-à-dire que %$u_2\leqslant \nombre{11000}$), puis pour $n=3$, puis pour $n=4$, etc.\medskip

    Le \textbf{principe de récurrence} permet d'affirmer que si une propriété est initialisée et héréditaire alors cette propriété est vraie pour tout $n$ à partir du rang de l'initialisation.

    Comme c'est le cas ici (à partir de $n=0$), on peut affirmer que : 

    {\centering
      $u_n\leqslant \nombre{11000} \text{ \textbf{pour tout} } \mathbf{n\geqslant0}.$
    \par}
  \end{cadre}

\item La propriété reste-t-elle vraie si Léa choisit \nombre{1600}
  comme valeur de départ ?
\item Supposons qu'on ne tienne plus compte des contraintes du premier
  nombre et qu'on choisisse \nombre{15000} comme nombre de départ. La
  propriété reste-t-elle vraie dans ce cas ?
\end{enumerate}
\end{activite}


