\begin{TP}[La gestion du succès][\tice]
Rhydwen a écrit un livre à succès intitulé \og Vive les suites ! \fg{}.

Cela lui a rapporté \ueuro{500000} la 1\iere{} année et son éditeur lui prédit qu'il gagnera \ueuro{10000} de droits d'auteur chacune des années suivantes.\smallskip

On appelle $(u_n)$ la suite donnant la somme d'argent dont il dispose la $n\ieme$ année (on a donc $u_1=\nombre{500000}$) sachant qu'il a décidé que chaque année, il utilisera \upc{10} de l'argent dont il dispose l'année précédente.
\begin{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Montrer que $u_2=\nombre{460000}$ et calculer $u_3$.
          \item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$.\label{rhyd1}
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item  Préparer la feuille de calcul suivante :    \smallskip
           \begin{center}
  \begin{tabular}{|>{\columncolor{Gris1}}c|l|c|c|c|}\hline
\rowcolor{Gris1}	& \multicolumn{1}{|c|}{A} &\multicolumn{1}{|c|}{B}&\multicolumn{1}{|c|}{C}&	\multicolumn{1}{|c|}{D}\tabularnewline \hline
1  & ~~n~~ & Un &&\tabularnewline\hline
2  & ~~1~~ & \nombre{500000} && 	\tabularnewline\hline
3  & ~~2~~&  &Pourcentage prélevé& 10 	\tabularnewline\hline
4  & ~~3~~ &  && 	\tabularnewline\hline
\end{tabular}
\end{center}

~~
          \item Compléter la feuille de tableur (jusqu'à $n=10$) en utilisant la cellule D3 de sorte que l'on puisse modifier dynamiquement la valeur qui y est présente.
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Décrire l'évolution observée les 10 premières années (hausse ou baisse ? rapide ou lente ?).
          \item Que peut-on alors penser de la somme dont Rhydwen disposera à long terme ?\label{rhyd2}
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Tabuler la suite jusqu'à $n=50$ et décrire de nouveau l'évolution observée de la 40\ieme{} à la 50\ieme{} année.
          \item Cela semble-t-il confirmer la réponse à la question \RefItem{rhyd2} ?
          \item Proposer une conjecture sur la limite de $(u_n)$.\label{rhyd3}
        \end{enumerate}
  \item \begin{enumerate}
          \item Montrer que $\nombre{100000}\leqslant u_n$ pour tout $n\in\N^*$.
          \item En déduire que la suite $(u_n)$ est décroissante.
          \item Valider la conjecture de la question \RefItem{rhyd3}{} (on utilisera la question \RefItem{rhyd1} pour déterminer la limite).
        \end{enumerate}
  \item Rhydwen souhaite pouvoir transmettre au moins \ueuro{200000} à ses futur(e)s héritier(e)s mais également vivre longtemps !

  En modifiant la valeur présente en D3, quel pourcentage maximum semble-t-il pouvoir\linebreak prélever chaque année pour réaliser son souhait ?
\end{enumerate}
\end{TP} 

