\begin{TP}[C'est moi le premier !][\algo]

 On considère la suite $ (u_n)$ définie par $u_n=(2+\sin(n))n^2+5n+2$ pour tout $n\in\N$ et les deux programmes ci-dessous écrits dans le langage AlgoBox :\\

\begin{minipage}{0.5\linewidth}

\vspace{-.5cm}

\begin{center}
\textbf{Programme \no 1}\smallskip
\end{center}

\begin{oldalgorithme}
VARIABLES
    u EST\_DU\_TYPE NOMBRE
    n EST\_DU\_TYPE NOMBRE
    A EST\_DU\_TYPE NOMBRE
DEBUT\_ALGORITHME
    LIRE A
    n PREND\_LA\_VALEUR 0
    u PREND\_LA\_VALEUR F1(0)
    TANT\_QUE (u<=A) FAIRE
        DEBUT\_TANT\_QUE
        n PREND\_LA\_VALEUR n+1
        u PREND\_LA\_VALEUR F1(n)
        FIN\_TANT\_QUE
    AFFICHER n
FIN\_ALGORITHME
\end{oldalgorithme}

\begin{center}
\verb"Fonction numérique utilisée :"

\verb"F1(x)=(2+sin(x))*x*x+5*x+2"
\end{center}
\end{minipage}
\hfill
 \begin{minipage}{0.5\linewidth}

\begin{center}
 \textbf{Programme \no 2}\smallskip
\end{center}

\begin{oldalgorithme}
VARIABLES
    u EST\_DU\_TYPE NOMBRE
    n EST\_DU\_TYPE NOMBRE
    A EST\_DU\_TYPE NOMBRE
DEBUT\_ALGORITHME
    LIRE A
    LIRE n
    TANT\_QUE (F1(n)>A) FAIRE
        DEBUT\_TANT\_QUE
        n PREND\_LA\_VALEUR n-1
        FIN\_TANT\_QUE
    n PREND\_LA\_VALEUR n+1
    AFFICHER n
FIN\_ALGORITHME
\end{oldalgorithme}

\vspace{.4cm}

\begin{center}
\verb"Fonction numérique utilisée :"

\verb"F1(x)=(2+sin(x))*x*x+5*x+2"
\end{center}

~~
\end{minipage}





\begin{enumerate}
	\item
        \begin{enumerate}
        \item Ouvrir AlgoBox et écrire le programme \no 1.
	   \item Le tester pour $A=\nombre{1000}$ et noter le résultat obtenu.
	   \item Ce programme affiche-t-il en sortie le premier rang à partir duquel \textbf{tous les termes de la suite} sont strictement supérieurs à $A$ ?

Expliquer pourquoi.
        \item Expliquer intuitivement pourquoi il ne semble pas possible d'écrire un tel programme.
        \end{enumerate}
        \item Quelle condition suffisante sur une suite permet d'affirmer que le premier rang pour lequel un terme est strictement supérieur à $A$ est le rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à $A$ ?
    \item Trouver une suite $(v_n)$ dont le terme général est polynomial de degré 2 et vérifie $v_n\leqslant u_n$ pour tout $n\in\N$.
    \item \begin{enumerate}
            \item \'Etudier le sens de variations de $(v_n)$.
            \item Modifier la fonction numérique utilisée dans le programme \no 1 pour le tester avec la suite $(v_n)$ et le nombre $A=\nombre{1000}$ (noter le résultat obtenu).
            \item Justifier qu'à partir de ce rang, on est sûr que tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement supérieurs à $\nombre{1000}$.
            \item Avec le programme \no 1, déterminer (et noter) un rang à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement supérieurs à $\nombre{100000}$.

                 Est-ce le plus petit rang possible ?
          \end{enumerate}\newpage
    \item         \begin{enumerate}
          \item Recopier et compléter le tableau ci-dessous en \og faisant fonctionner à la main \fg{} le\linebreak programme \no 2 quand on saisit $A=\nombre{1000}$ et $n=30$ :
          \begin{center}
          \begin{tableau}[t]{\linewidth}{6}\hline
            $n$  & 30 & 29 & \ldots& \ldots& \ldots \\\hline
            $F1(n)$ &  &  & & & \ldots \\\hline
          \end{tableau}
          \end{center}
          \item Vérifier avec AlgoBox.
          \item Justifier que le nombre obtenu est le plus petit rang à partir duquel tous les termes de la suite sont supérieurs à \nombre{1000}.
          \item Déterminer avec AlgoBox le plus petit rang à partir duquel tous les termes de la suite $(u_n)$ sont strictement supérieurs à \nombre{100000}.
        \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{TP}

