\begin{TP}[Une histoire de Héron][\tice]\label{TP-heron}
 \vspace{-1.25\baselineskip}\partie{Application}
 \vspace{-0.25\baselineskip}On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=\dfrac{u_n^2+2}{2u_n}$ pour tout $n\in\N$.

On admet que cette suite est définie pour tout entier naturel $n$.
\begin{enumerate}
  \item Montrer que la fonction $f$ définie sur $\left[\sqrt{2}\ ;\ +\infty\right[$ par $f(x)=\dfrac{x^2+2}{2x}$ est croissante.
  \item Montrer que pour tout $n\in\N$, on a $\sqrt{2}\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.
  \item En déduire que la suite $(u_n)$ converge vers un réel
    $\ell \geqslant \sqrt{2}$.
  \item \begin{enumerate}
          \item En utilisant un résultat de la partie \RefPartie{TP-heron-partie1}, montrer que $\ell$ est solution de $\dfrac{2-\ell^2}{2\ell}=0$.
          \item Déterminer les deux solutions de cette équation.
          \item En déduire la limite de $(u_n)$ % en utilisant un résultat de la partie \RefPartie{TP-heron-partie1}
            .
        \end{enumerate}
  \item \`A l'aide d'une calculatrice ou d'un tableur, comparer $u_{4}$ à $\ell$.

  Que peut-on penser de cette approximation ?
\end{enumerate}
  \begin{cadre}[A1][A4]Cette méthode d'approximation des racines carrées est due au mathématicien grec Héron d'Alexandrie (1\ier{} siècle après J.-C).

  Elle peut être généralisée à n'importe quelle racine carrée $\sqrt{a}$ en considérant la fonction $x\mapsto \dfrac{x^2+a}{2x}$ au lieu de $x\mapsto \dfrac{x^2+2}{2x}$.
\end{cadre}

\vspace{-5\baselineskip}

~~
\end{TP}


