\begin{TP}[Une histoire de Héron][\tice]\label{TP-heron}
\vspace{-0.5\baselineskip}\partie{Avec la définition}\label{TP-heron-partie1}
\vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
  \item Rappeler la définition de $\displaystyle \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n=\ell$ avec $\ell\in\mathbb{R}$.
  \item \`A l'aide de cette définition, démontrer le résultat suivant :

  \begin{cadre}[A1][A4]Si une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ alors la suite $(v_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $v_n=u_{n+1}$ converge également vers $\ell$.
\end{cadre}
  \item \begin{enumerate}
          \item Un élève affirme avoir trouvé une suite minorée par 2 qui converge vers $0$.

          Que peut-on  en penser ?
          \item  Nous allons démontrer par l'absurde le résultat suivant :
          \begin{cadre}[A1][A4]Si une suite $(u_n)$, minorée par un réel $m$, converge vers un réel $\ell$ alors $m\leqslant \ell$.
            \end{cadre}

            On considère donc une suite $(u_n)$, minorée par un réel $m$, qui converge vers un réel $\ell$ et on suppose que $m>\ell$ comme illustré ci-dessous.%\medskip            
         \begin{center}
            \begin{tikzpicture}[general,xscale=.45,yscale=0.45]
        \axeX{0}{10.5}{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
        \axeY{0}{6}{0,1};

        \draw [G1] (0,4) -- (10,4);
        \draw (-0.5, 4) node {$m$};

        \draw  (0,2.5) -- (10,2.5);
        \draw (-0.5, 2.5) node {$\ell$};


        \draw [color=C1] (0,5) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (1,4.8) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (2,4.6) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (3,4.7) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (4,4.5) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (5,4.8) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (6,4.5) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (7,4.45) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (8,4.25) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (9,4.35) node {$\times$};
        \draw [color=C1] (10,4.25) node {$\times$};
        \end{tikzpicture}
         \end{center}



          %\begin{minipage}{0.45\linewidth}
           
          %\end{minipage}
          %\hfill
          %\begin{minipage}{0.55\linewidth}
            \vspace{-\baselineskip}\begin{enumerate}
        \item Reproduire ce graphique et matérialiser l'intervalle $I=\left]-\infty;\dfrac{m+\ell}{2}\right[$ sur l'axe des ordonnées.
        \item Justifier que $I$ ne contient aucun terme de la suite $(u_n)$.
        \item ~Conclure.
        \end{enumerate}
          %\end{minipage} 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

~~
\end{TP}


