\begin{TP} [Des rectangles et des suites (2)][\tice]

\begin{minipage}{0.5\linewidth}
Une suite de rectangles $R_1$, $R_2$, $R_3$,... est construite de la manière décrite ci-dessous :
\begin{itemize}
\item l'aire $A_1$ du rectangle $R_1$ est égale à 12 et sa largeur $l_1$ vaut 1 ;
\item l'aire $A_n$ du rectangle $R_n$ est donnée par la formule de récurrence $A_{n+1}=3A_n-6$ pour tout $n\geqslant1$ ;
\item les largeurs des rectangles suivent une progression géométrique de raison 3.
\end{itemize}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.5\linewidth}
\vspace{-1\baselineskip}\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,scale=0.4]
   \draw [fill=A3] (0,0)rectangle (1,12) ;
   \draw [fill=J1] (1,0)rectangle (4,10) ;
   \draw [fill=H1] (4,0)rectangle (13,9.33) ;
   \draw (0.5,6) node {\small$R_1$} ;
   \draw (2.5,5) node {$R_2$} ;
   \draw (8.5,4.67) node {$R_3$} ;
  \end{tikzpicture}
\end{center}
\end{minipage}

~~

\vspace{0\baselineskip}Pour tout $n\geqslant1$, on note $A_n$ l'aire du rectangle $R_n$, $l_n$ la largeur du rectangle $R_n$ et $h_n$ la hauteur du rectangle $R_n$.
\begin{enumerate}
\item En dressant dans un tableur les tableaux de valeurs des suites $(A_n)$, $(l_n)$ et $(h_n)$, que peut-on penser de la hauteur des rectangles quand $n$ tend vers $+\infty$ ?
\item Pour justifier cette limite, étudions la suite $(A_n)$. Soit $v_n=A_n-3$ pour tout $n\geqslant1$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $(v_n)$ est géométrique de raison 3.
\item En déduire l'expression de la suite $(v_n)$ puis celle de $(A_n)$ en fonction de $n$.
\end{enumerate}
\item En déduire la limite de $(h_n)$.
\end{enumerate}


\vspace{-3\baselineskip}

~~
\end{TP}

