\begin{TP} [Des rectangles et des suites (1)][\tice]

\vspace{-0.5\baselineskip}Une suite de rectangles $R_1$, $R_2$, $R_3$, ... est construite de manière à ce que les aires de ceux-ci augmentent à chaque étape d'une valeur égale au numéro de l'étape.

\vspace{-0.5\baselineskip}\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general,scale=1]
   \draw [fill=A3] (0,0)rectangle (1,1) ;
   \draw [fill=J1] (1,0)rectangle (3,1) ;
   \draw [fill=H1] (3,0)rectangle (7,1) ;
   \draw [fill=C3] (7,0)rectangle (14,1) ;
   \draw (0.5,0.5) node {$R_1$} ;
   \draw (2,0.5) node {$R_2$} ;
   \draw (5,0.5) node {$R_3$} ;
   \draw (10.5,0.5) node {$R_4$} ;
   \end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-1\baselineskip}\begin{itemize}
\item On part d'un rectangle $R_1$ d'aire 1 ;
\item étape 1 : l'aire de $R_2$ est égale à celle de $R_1$ augmentée de $1$ (le numéro de l'étape) donc $1+1=2$   ;
\item étape 2 : l'aire de $R_3$ est égale à celle de $R_2$ augmentée de $2$ donc $2+2=4$ ;
\item étape 3 : l'aire de $R_4$ est égale à celle de $R_3$ augmentée de $3$ donc $4+3=7$;
\item etc.
\end{itemize}
\vspace{-1\baselineskip}Pour tout $n\geqslant1$, on note $A_n$ l'aire du rectangle $R_n$. On a donc $A_1=1$, $A_2=2$, $A_3=4$.
\begin{enumerate}
\item Dresser dans le tableur un tableau de valeurs de la suite $(A_n)$ et faire apparaître le nuage de points représentant cette suite.
\item \`A quel type d'expression ce nuage de points peut-il faire penser ?
\item On peut donc conjecturer qu'il existe des nombres $a$, $b$ et $c$ tels que $A_n=an^2+bn+c$ pour tout $n\geqslant1$.

     Dans le cadre de cette conjecture, trouver $a$, $b$ et $c$.
\item Montrer que l'expression conjecturée est bien l'expression de $A_n$ pour tout $n\geqslant1$.
\item Soit $N\geqslant1$ et $R_N$ le rectangle correspondant.

En admettant que $\displaystyle\sum_{n=1}^{N}n^2=\dfrac{N(N+1)(2N+1)}{6}$, déterminer en fonction de $N$ l'aire totale de la bande jusqu'au rectangle $R_N$.
\end{enumerate}

\end{TP}

