\begin{TP}[Piège à fourmis
{\small \it sur une idée de C. Schwartz et B. Cailhol, http://www.statistix.fr}][\tice]

\partie{Le principe}
\vspace{0.5em}
\parbox{0.55\linewidth}{
Un piège à fourmi se présente sous la forme d'un tétraèdre $ABCD$. L'entrée se fait en $A$. 



\`A chaque étape, la fourmi se dirige vers un autre sommet. Si elle arrive en $A$ elle sort. Si elle n'est pas sorti au bout de 4~déplacements, elle meurt. 

\begin{enumerate}
        \item Calculer le nombre de parcours possibles et le nombre de parcours où la fourmi meurt.
        \item\label{2SP2_TP_fourmi} Conjecturer la proportion de fourmis qui meurent. 
\end{enumerate}
}\hfill
\parbox{0.4\linewidth}{
\begin{tikzpicture}[general, yscale=0.7]
 \draw (0,0)--(5,0)--(2.5,5)--cycle;
 \draw[dashed] (2.5,2)--(0,0);
 \draw[dashed] (2.5,2)--(5,0);
 \draw[dashed] (2.5,2)--(2.5,5);
 \draw (2.8,0) node {\includegraphics[width=1.6cm]{\pathmanuel/images/aurium_Ant.eps}};
\draw (5,0)--(3.4,0);
 \draw (0,0) node[below left] {$A$};
 \draw (5,0) node[below right] {$B$};
 \draw (2.5,5) node[above] {$C$};
 \draw (2.5,2) node[above left] {$D$};
\end{tikzpicture}}
\partie{Simulation à l'aide d'un tableur}
Ouvrir un tableur. 
\begin{enumerate}
 \item On pose A pour 0, B pour 1, C pour 2 et D pour 3. \\ 
 Le premier sommet est A donc dans \texttt{A1}, on met 0. \\ 
 Les autres sont choisis aléatoirement mais différent du précédent : \texttt{MOD(A1+ENT(ALEA()*3+1;4)}. 
 Compléter de \texttt{B1} à \texttt{E1}.
  \item Dans \texttt{G1} : déterminer le minimum de \texttt{B1:E1}.
 \item Recopier \texttt{A1:G1} jusqu'à \texttt{A1000:G1000}.
 \item Calculer la proportion de 0 (sortie de la fourmi) sur \texttt{G1:G1000}.
 \item Rafraîchir plusieurs fois. La conjecture du \RefItem{2SP2_TP_fourmi} de la partie 1 est-elle plausible?
\end{enumerate}

\partie{Analyse}
Pour calculer la probabilité que la fourmi meure, on utilise un arbre pondéré.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, yscale=0.7]
 \node[left] (A0) at (0,4) {A};
 \node[right] (A1) at (2,5) {A};
 \node[right] (A2) at (5,4) {A};
 \node[right] (A3) at (8,3) {A};
 \node[right] (A4) at (11,2) {A};
 \node[right] (B1) at (2,3) {autre};
 \node[right] (B2) at (5,2) {autre};
 \node[right] (B3) at (8,1) {autre};
 \node[right] (B4) at (11,0) {autre};
 \draw (A1)--(0,4)--(B1);
 \draw (A2)--(3,3)--(B2);
 \draw (A3)--(6,2)--(B3);
 \draw (A4)--(9,1)--(B4);
 \draw (1,3.5) node[below] {1};
 \draw (1,4.5) node[above] {0};
\end{tikzpicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item Compléter les probabilités sur chaque branche. 
 \item En déduire la probabilité que la fourmi meure puis la probabilité pour qu'elle survive.
 \item Votre résultat est-il cohérent avec la simulation: est-il dans l'intervalle de confiance?
\end{enumerate}

\end{TP}







