\begin{TP}[\'Elections présidentielles de 2012][\tice]

Voici un récapitulatif des sondages parus en France peu de jours avant le second tour des élections présidentielles de 2012. {\footnotesize{(source : sondages-en-france.fr)}}
\begin{footnotesize}
\begin{tableau}[C]{\linewidth}{10}{c}
%{|>{\columncolor{pink!50}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|>{\columncolor{pink!15}}c|}
\hline
Numéro&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\
\hline
Date en mai&1 &2 &2 &3 &3 &3 &3 &3 &4 \\
\hline
Hollande&53,5&53&52,5&53,5&52,5&53&53&52,5&52\\
\hline
Sarkozy&46,5&47&47,5&46,5&47,5&47&47&47,5&48\\
\hline
Nombre de personnes interrogées&1387&1077&2009&1000&1018&1072&1123&2161&1255\\
%\hline
%Emetteur du sondage&BVA&LH2&Opinion Way&TNS-soffres&Ipsos&Harris&CSA&BVA&Ifop\\
\hline
\end{tableau}
%\multicolumn{10}{r}{\footnotesize{(source : sondages-en-france.fr)}}\\
\end{footnotesize}

\`A l'issue du second tour des élections présidentielles \u{2012}, M. Hollande a été élu président de la République Française avec \upc{51,64} des voix contre \upc{48,36} pour M. Sarkozy.

\partie{Un modèle}
On considère une urne contenant \u{10000} boules, \u{5164} roses et \u{4836} bleues. \\ On effectue \u{1000} tirages successifs et avec remise dans l'urne.\\ On note $f_r$ la fréquence de boules roses obtenues.
\begin{enumerate}
\item Que modélise cette expérience? Quelle est la proportion $p$ de boules roses dans l'urne?
\item %D'après votre cours, la fréquence $f_r$ appartient à \mbox{$\left[p-\dfrac{1}{\sqrt{\u{1000}}};p+\dfrac{1}{\sqrt{\u{1000}}}\right]$} dans 95\% des simulations que l'on réaliserait, cet intervalle s'appelle intervalle de fluctuation au seuil de 95\%.\\
Quel est l'intervalle de fluctuation au seuil de $\upc{95}$?
\begin{enumerate}
\item Démontrer que si \mbox{$f_r\in \left[p-\dfrac{1}{\sqrt{1000}};p+\dfrac{1}{\sqrt{\u{1000}}}\right]$} alors \mbox{$p\in \left[f_r-\dfrac{1}{\sqrt{\u{1000}}};f_r+\dfrac{\TopStrut 1}{\BotStrut \sqrt{\u{1000}}}\right]$}.
 \item Comment appelle-t-on l'intervalle $\left[f_r-\dfrac{\TopStrut 1}{\BotStrut\sqrt{1000}};f_r+\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\right]$?
\end{enumerate}
\parbox{0.65\textwidth}{
\item On simule 25 échantillons de taille \nombre{1000} à l'aide d'un logiciel de calcul numérique. Le graphique obtenu donne les 25 intervalles de confiance correspondants.\\
\begin{enumerate}
\item Quelle est la proportion d'intervalles de confiance ne contenant pas $p$?
\item Modifier le programme disponible sur le site pour simuler 25 échantillons de taille $n$ (nombre à saisir par l'utilisateur). \\Exécuter votre programme avec $n=\u{2000}$  et $n=\u{10000}$. \\ Commenter.
\end{enumerate}
}
\hfill
\parbox{0.3\textwidth}{\mbox{
\begin{tikzpicture}[general, xscale=15,yscale=0.18]
\draw[axe] (0.43,0)--(0.60,0);
\foreach \x in {0.44,0.46,0.48,0.50,0.52,0.54,0.56,0.58} {\draw (\x,0) node{$+$};}
\draw (0.5,0) node[below] {$0,5$};
\draw[B1prime] (0.5164,0)--(0.5164,25);
\draw[A1] (0.4783772233983,1)--(0.5416227766017,1); 
 \draw[A1] (0.4863772233983,2)--(0.5496227766017,2);
 \draw[A1] (0.4853772233983,3)--(0.5486227766017,3);
 \draw[A1] (0.5123772233983,4)--(0.5756227766017,4);
 \draw[A1] (0.4943772233983,5)--(0.5576227766017,5);
 \draw[A1] (0.4843772233983,6)--(0.5476227766017,6);
 \draw[A1] (0.4593772233983,7)--(0.5226227766017,7);
 \draw[A1] (0.4553772233983,8)--(0.5186227766017,8);
 \draw[A1] (0.4583772233983,9)--(0.5216227766017,9);
 \draw[A1] (0.4693772233983,10)--(0.5326227766017,10);
 \draw[A1] (0.4713772233983,11)--(0.5346227766017,11);
 \draw[A1] (0.4873772233983,12)--(0.5506227766017,12);
 \draw[A1] (0.4883772233983,13)--(0.5516227766017,13);
 \draw[A1] (0.4623772233983,14)--(0.5256227766017,14);
 \draw[A1] (0.4963772233983,15)--(0.5596227766017,15);
 \draw[A1] (0.4693772233983,16)--(0.5326227766017,16);
 \draw[A1] (0.4883772233983,17)--(0.5516227766017,17);
 \draw[A1] (0.5183772233983,18)--(0.5806227766017,18);
 \draw[A1] (0.4793772233983,19)--(0.5426227766017,19);
 \draw[A1] (0.4553772233983,20)--(0.5186227766017,20);
 \draw[A1] (0.4763772233983,21)--(0.5396227766017,21);
\draw[A1](0.4653772233983,22)--(0.5286227766017,22);
 \draw[A1] (0.4993772233983,23)--(0.5626227766017,23);
 \draw[A1] (0.5003772233983,24)--(0.5636227766017,24);
 \draw[A1] (0.4883772233983,25)--(0.5516227766017,25);
 
\end{tikzpicture}
}
}
\end{enumerate}



\partie{Les sondages}
On applique maintenant le modèle étudié à l'élection présidentielle de 2012.
\begin{enumerate}
\item Calculer, pour chaque sondage, les intervalles de confiance correspondant aux intentions de vote pour les deux candidats.
\item Tous ces sondages assuraient-ils une victoire de M. Hollande au second tour? \\Argumenter votre réponse.
\item 
\begin{enumerate}
\item Comment sont constitués les échantillons utilisés dans ces sondages? \\Faire une recherche documentaire.
\item Que dire alors de notre modèle?
\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{TP}






