\begin{exercice}%[Dans un cube]
 $ABCDEFGH$ est un cube de côté \ucm{10}.
 \begin{colitemize}{3}
\item $M \in [AB]$ \item $N \in [AE]$ \item $R \in [HG]$\end{colitemize}
tel que $AM=AN=HR=\Ucm{x}$ ($0\leqslant x\leqslant 10$).
\begin{colitemize}{2}
\item $P\in [EF]$ \item $S\in [DH]$ \end{colitemize} tels que $(PR)//(NS)//(HE)$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=0.5]
  \draw (0,0)--(5,0)--(5,5)--(0,5)--cycle;
  \draw (0,5)--(2,7.5)--(7,7.5)--(5,5);
  \draw (5,0)--(7,2.5)--(7,7.5);
  \draw[dashed] (0,0)--(2,2.5)--(7,2.5);
  \draw[dashed] (2,2.5)--(2,7.5);
  \draw[dashed] (3,0)--(2,2.5)--(0,3);
  \draw[dashed] (5,7.5)--(2,5.5)--(0,3);
  \draw[color=J1, very thick] (3,0)--(0,3)--(3,5)--(5,7.5);
  \foreach \x/\y/\N/\pos in {0/0/A/left, 5/0/B/below, 7/2.5/C/right, 2/2.5/D/above right,0/5/E/left,3/5/P/below right,5/5/F/below right, 7/7.5/G/right, 2/7.5/H/above,5/7.5/R/above,3.5/7.5/x/above, 1.9/5.1/S/above left,0/3/N/left, 0/1.5/x/left, 3/0/M/below,1.5/0/x/below} {\draw (\x,\y) node[\pos]{$\N$};}
 \end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-1.5em}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la position relative
\begin{enumerate}
\item des plans $(PRS)$ et $(MND)$?  $(FRG)$ et $(BMD)$?
\item des droites $(FS)$ et $(BD)$? $(MD)$ et $(GF)$?
\end{enumerate}
\item On pose $x=\ucm{3}$.
\begin{enumerate}
\item Dessiner en vraie grandeur le triangle $DMN$.\\ Préciser sa nature.
\item Calculer le volume $V_1$ du solide $AMND$.
\item  Donner la nature du solide $ENPHSR$. \\ Calculer son volume $V_2$.
\end{enumerate}

\item $x$ est un réel de l'intervalle $[0 ; 10]$.
\begin{enumerate}
%\setcounter{enumi}{3}
\item Exprimer le volume $V_1(x)$ du tétraèdre $AMND$ \\en fonction de $x$.
\item  Montrer que le volume du solide $ENPHSR$ \\en fonction de $x$ peut s'écrire : $V_2(x)=5x(10 - x)$.
\end{enumerate}
\item Sur le graphique, $C_1$ et $C_2$ sont les représentations graphiques de $V_1$ et $V_2$.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, yscale=0.03, xscale=0.51]
  \draw[quadrillage, ystep=20] (0,0)grid (10,140);
  \draw[axe] (0,0)--(10.3,0);
  \draw[axe] (0,0)--(0,145);
  \draw[color=A1, very thick] plot[domain=0:10, smooth] (\x,50*\x-5*\x*\x);
  \draw[color=B1, very thick] plot[domain=0:9.16, smooth] (\x,5*\x*\x/3);
  \foreach \x in {2,4,6,8,10} {\draw (\x,0) node{\footnotesize $+$};
  \draw (\x,0) node[below]{\footnotesize $\x$};}
  \foreach \y in {20,40,60,80,100, 120, 140} {\draw (0,\y) node{\footnotesize $+$};
  \draw (0, \y) node[left]{\footnotesize $\y$};}
  \draw[color=A1] (1.5,90) node{$C_2$};
  \draw[color=B1] (8.6,110) node{$C_1$};
 \end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-1.5em}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le volume maximum de $ENPHSR$.
\item Résoudre graphiquement $\dfrac{\TopStrut 5x^2}{\BotStrut 3}=5x(10-x)$.\\Interpréter le résultat.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}
