\begin{exercice}[Paradoxe de Bertrand]
 Soit un cercle de rayon 1. Tous les triangles équilatéraux inscrits dans ce cercle ont la même longueur de côté. On cherche à déterminer la probabilité qu'une corde du cercle, choisie au hasard, possède une longueur supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit (On appelle $S$ cet événement).
 
 \textit{Sur les figures ci-dessous, les cordes bleues ont une longueur supérieure à la longueur du côté du triangle, alors que les cordes rouges ont une longueur inférieure}.

\begin{description}
\item[1\iere\ méthode: Extrémités aléatoires] :\\ soit un point de la circonférence du cercle et le triangle équilatéral inscrit dont l'un des sommets est ce point. On choisit aléatoirement un autre point sur le cercle et on considère la corde reliant les deux points. Calculer $p(S)$.

\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=1]
  \clip[draw] (0,0) circle (1);
  \draw[color=gray] (-0.5,0.87)--(1,0)--(-0.5,-0.87)--cycle;
  \draw[color=B1] (1,0)--(0.4,1.2);
  \draw[color=B1] (1,0)--(-0.4,1.2);
  \draw[color=A1] (1,0)--(-4,-1);
  \draw[color=A1] (1,0)--(-4,-0.5);
 \end{tikzpicture}
\end{center}


\item[2\ieme\ méthode : Rayon aléatoire] : on choisit un rayon du cercle et on considère le triangle équilatéral inscrit dont un côté est perpendiculaire au rayon. On choisit aléatoirement un point sur le rayon et on trace la corde dont il est le milieu.  Calculer $p(S)$.


\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=1]
  \clip[draw] (0,0) circle (1);
  \draw[color=gray] (-0.5,0.87)--(1,0)--(-0.5,-0.87)--cycle;
  \draw (0,0)--(-1,0);
  \draw[color=A1] (-0.2,-1)--(-0.2,1);
  \draw[color=A1] (-0.3,-1)--(-0.3,1);
  \draw[color=B1] (-0.7,-1)--(-0.7,1);
  \draw[color=B1] (-0.9,-1)--(-0.9,1);
 \end{tikzpicture}
\end{center}

\item[3\ieme\ méthode : Milieu aléatoire] : soit un point choisi aléatoirement à l'intérieur du cercle et une corde dont il est le milieu. La corde est plus longue qu'un côté du triangle équilatéral inscrit si le point est situé à l'intérieur d'un cercle inscrit dans le triangle. Calculer $p(S)$.


\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=1]
  \clip[draw] (0,0) circle (1);
  \draw (0,0) circle (0.5);
  \draw[color=gray] (-0.5,0.87)--(1,0)--(-0.5,-0.87)--cycle;
  \draw[color=B1] (-3,0)--(1,1.2);
  \draw[color=B1] (-2,0)--(1,1);
  \draw[color=A1] (-1.2,0)--(2,0.5);
   \draw[color=A1] (-1.2,-0.35)--(2,-0.35);
 \end{tikzpicture}
\end{center}
\end{description}

Que peut-on conclure de ces trois calculs sur la notion d'équiprobabilité?

\end{exercice}
