\begin{propriete}
Pour tout nombre réel $x$:  

$\left( \cos x \right)^2 + \left(\sin x\right)^2 = 1$\hfill
$ -1 \leqslant \cos x \leqslant 1$\hfill
$ -1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
\end{propriete}





\begin{preuve}
 Dans les conditions de la définition, comme  le repère est orthonormé,\\ on peut utiliser la formule suivante:
 
 $OM=\sqrt{\left(x_M-x_O\right)^2+\left(y_M-y_O\right)^2}$ soit $OM=\sqrt{\left(\cos x-0\right)^2+\left(\sin x-0\right)^2}$ 
 
 d'où $OM^2=(\cos x)^2+(\sin x)^2$. 
 
 Or, le cercle trigonométrique est de rayon 1, donc $(\cos x)^2+(\sin x)^2=1$
\end{preuve}





\begin{notation}\\
 Pour simplifier l'écriture, on peut utiliser $(\cos x)^2=\cos^2 x$ et $(\sin x)^2=\sin^2 x$.
\end{notation}





%\parbox{0.8\linewidth}{
\begin{remarque}
\begin{itemize}
\parbox{0.68\linewidth}{
\item Pour $x$ un nombre de $\left]0;\dfrac{\TopStrut \pi}{\BotStrut 2}\right[$, l'angle $\widehat{IOM}$ est un angle aigu.  \`A partir de la figure ci-contre, dans le triangle $OME$ rectangle en $E$, on a:\\
$\cos  \widehat{EOM}  = \dfrac{\TopStrut OE}{\BotStrut OM}= OE = \cos x$ d'où $ \cos x = \cos  \widehat{IOM}$.\\
$\sin  \widehat{EOM} =  \dfrac{\TopStrut ME}{\BotStrut OM} = ME = OF = \sin x$ d'où $\sin x=\sin \widehat{IOM}$.\\}
\hfill
%\hspace{-1.8cm}
\parbox{0.3\linewidth}{
\begin{tikzpicture}[general, scale=2.3]
 \draw (1,0) arc (0:90:1);
 \draw[axe] (0,0)--(1.2,0);
 \draw[axe] (0,0)--(0,1.2);
 \draw (0,0) node[below left] {$O$};
 \draw (1,0) node[above right] {$I$};
 \draw (0,1) node[left] {$J$};
 \draw (0.5,0.87) node[above right] {$M$};
 \draw (0.5,0) node[below, color=C1] {{\boldmath $E$}};
 \draw (0,0.87) node[left, color=C1] {{\boldmath $F$}};
 \draw[color=C1] (0.5,0.87)--(0,0);
 \draw[dashed, color=C1] (0.5,0.87)--(0.5,0);
 \draw[dashed, color=C1] (0.5,0.87)--(0,0.87);
 \draw[color=C1] (0.5,0) rectangle (0.4,0.1);
 \draw[color=C1] (0,0.87) rectangle (0.1,0.77);
\end{tikzpicture}}
\item Le réel $x$ compris entre $0$ et $\dfrac{\TopStrut \pi}{\BotStrut 2}$ permettant de placer le point $M$ est aussi  une mesure de l'angle $\widehat{IOM}$ dans une nouvelle unité de mesure, le \textbf{radian}.
\end{itemize}
\end{remarque}
