\begin{propriete}[\'Equation d'une droite]
Soit $(d)$, une droite dans un repère $(O;I,J)$.  
\begin{itemize}
\item Si $(d)$ est {\bfseries parallèle à l'axe des ordonnées} alors \\$(d)$ admet une équation de la forme $x=c$ où $c$ est un nombre réel.
\item Si $(d)$ {\bfseries n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées} alors \\ $(d)$ admet une équation réduite de la forme $y=mx+p$, $m$ et $p$ étant des nombres réels. 
\end{itemize}
\end{propriete}



\begin{preuve}
On se place dans un repère orthonormal (O;I,J).
\begin{itemize}
\item Si $(d)$ est \textcolor{C1}{\textbf{parallèle}} à l'axe des ordonnées, alors elle coupe l'axe des abscisses en un seul point, $C$, de coordonnées  $(c;0)$.
  Un point $M$ de coordonnées $(x;y)$ pris au hasard sur cette droite aura la même abscisse que $C$. \\
  Donc \textcolor{C1}{\bfseries \boldmath la droite $(d)$ admet $x=c$ comme équation.} 
\item Si $(d)$ \textcolor{C1}{\textbf{n'est pas parallèle}} à l'axe des ordonnées, $(d)$ et l'axe des ordonnées se coupent en un point \textcolor{A1}{\bfseries \boldmath $B$}, de coordonnées  \textcolor{A1}{\bfseries \boldmath $(0;p)$}.\\
  \textcolor{A1}{\bfseries \boldmath $A$} est le point de la droite $(d)$ \textcolor{A1}{d'abscisse 1.}
  et \textcolor{J1}{\bfseries \boldmath $M$} un point de coordonnées \textcolor{J1}{\bfseries \boldmath $(x;y)$} pris au hasard sur la demi-droite [BA) et n'appartenant pas au segment [AB]. 
  \\\textit{Les autres positions du point M et la réciproque seront étudiées dans l'exercice  \RefExercice{2G5_réciproque_preuveducours}. }
\end{itemize}
 
\vspace{1em}
\parbox{6cm}{

\begin{tikzpicture}[general, xscale=0.8, yscale=0.8]
\draw[axe,color=gray] (-1.94,0) -- (6.5,0);
\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5,6}
\draw[color=gray](\x,0) node{{\small $+$}}  node[below] {\small $\x$};
\draw[axe,color=gray] (0,-1.5) -- (0,5.1);
\foreach \y in {-1,1,2,3,4}
\draw[color=gray] (0,\y) node{{\small $+$}}   node[left] {\small $\y$};
\draw (0,0) node[below left, color=gray] {\small $0$};
\draw (-1.94, 0.2)--(5,5.1);
\draw[<->] (3.7,4.03)-- (3.7,1.59);
\draw [loosely dashed] (3.45,4.03)-- (3.45,1.59);
\draw [loosely dashed] (3.45,1.59)-- (0,1.59);
\draw [loosely dashed] (1,1.59)-- (1,2.3);
\draw [<->] (1.3,1.59)-- (1.3,2.3);
\draw[<->] (0,1.37)-- (1,1.37);
\draw[<->] (0,1)-- (3.45,1);
\draw[color=A1] (0.0,1.59) node{{\boldmath $\times$}} node[left] {{\bfseries \boldmath $B(0;p)$}};
\draw[color=J1] (3.45,4.03) node{{\boldmath $\times$}} node[above left] {{\bfseries \boldmath $M(x;y)$}};
\draw[color=C1] (1,1.6)  node{{\boldmath $\times$}} node[below right] {{\bfseries \boldmath $D(1;p)$}};
\draw[color=C1] (3.45,1.6)  node{{\boldmath $\times$}} node[below right] {{\bfseries \boldmath $C(x;p)$}};
\draw[color=A1] (1,2.275)  node{{\boldmath $\times$}} node[above left] {{\bfseries \boldmath $A(1;y_A)$}};
\draw[color=black] (3.86,2.95) node[right] {{\bfseries \boldmath $y-p$}};
\draw[color=black] (1.3,1.95)  node[right] {{\bfseries \boldmath $y_A-p$}};
\draw[color=black] (0.54,1.2) node {{\bfseries \boldmath $1$}};
\draw[color=black] (1.77,0.8) node {{\bfseries \boldmath $x$}};
\end{tikzpicture}
}\hfill\parbox{6cm}{
On place les points \textcolor{C1}{C} et \textcolor{C1}{D} d'ordonnée $p$ de manière à ce que $BMC$ soit rectangle en $C$ et $BAD$ soit rectangle en $D$. 

Ces deux triangles sont en configuration de Thalès.\\Il vient donc
$\dfrac{\TopStrut{BD}}{\BotStrut{BC}}=\dfrac{DA}{CM}=\dfrac{BA}{BM}.$

Comme le repère est orthonormal, on évalue ces longueurs à partir des coordonnées des points et l'égalité des deux premiers rapports devient: 
$\dfrac{\TopStrut{1}}{\BotStrut{x}}=\dfrac{y_A-p}{y-p}.$
}
 

L'égalité des produits en croix donne: $(y_A-p)x=y-p$.

Les nombres $p$ et $y_A-p$ ne dépendent que de la position de la droite $(d)$ dans le repère.\\ Ils sont fixes et on note $m=y_A-p$.\\
$(y_A-p)x=y-p$ devient alors 
$mx=y-p$ soit $y=mx+p$.

Donc \textcolor{C1}{\bfseries \boldmath  tous les points de la droite $(d)$ vérifient l'équation $y=mx+p$.} 
\end{preuve}
\begin{remarques}





\begin{tabular}{lr}
\parbox{0.8\textwidth}{
On considère le cas des droites non parallèles à l'axe des ordonnées. 
\begin{itemize}
 \item Une droite a une infinité d'équations. \\ L'équation  de la forme $y=mx+p$ est appelée \textcolor{H1}{\MotDefinition{équation réduite}{}}.% de la droite.
 \item Dans la démonstration précédente, le point $B$  d'ordonnée $p$ est l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.\\ $p$ est appelé \textcolor{H1}{\MotDefinition{ordonnée à l'origine}{}} de la droite $(d)$.

  \item L'égalité $\dfrac{\TopStrut{BD}}{\BotStrut{BC}}=\dfrac{DA}{CM}$ permet aussi d'écrire que $\dfrac{DA}{BD}=\dfrac{CM}{BC}=\dfrac{m}{1}=m$.\\
$m$ est appelé le \textcolor{H1}{\MotDefinition{coefficient directeur}{}} de la droite $(d)$.

  \item Les accroissements des ordonnées sont proportionnels aux accroissements des abscisses et $m$ est le coefficient de proportionnalité. 
\end{itemize}
}
&
\parbox{0.2\textwidth}{
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
\draw[->,color=gray] (-1,0) -- (4,0);
\foreach \x in {-1,1}
\draw[color=gray](\x,0) node{{\small $+$}}  node[below] {\small $\x$};
\draw[->,color=gray] (0,-1) -- (0,5);
\foreach \y in {-1,1}
\draw[color=gray] (0,\y) node{{\small $+$}}   node[left] {\small $\y$};
\draw[color=black] (0,0) node[below left] {\small $0$};

\draw [domain=-1:4] plot(\x,{(--23.25--10.32*\x)/14.62});
\draw [<->,loosely dashed, color=C1, epais] (3.45,4.03)-- (3.45,1.59);
\draw [<->,loosely dashed, color=C1, epais] (3.45,1.59)-- (0,1.59);
\draw [<->,loosely dashed, color=A1, epais] (1,1.59)-- (1,2.3);
\draw [<->,loosely dashed, color=A1, epais] (1,1.59)-- (0,1.59);
\draw[color=A1] (0.0,1.75) node[left] {{\boldmath $B(0;p)$}};
\draw[color=A1] (3.55,4.18) node[left] {{\boldmath $M$}};
\draw[color=C1] (1,1.59) node[below] {{\boldmath $D$}};
\draw[color=C1] (3.45,1.4) node[right] {{\boldmath $C$}};
\draw[color=A1] (1,2.3) node[left] {{\boldmath $A$}};
\draw[color=black] (1,1.95) node[right] {{\boldmath $m$}};
\draw[color=black] (0.54,1.27) node {{\boldmath $1$}};
\end{tikzpicture}}
\end{tabular} 

 \end{remarques}