\begin{methode*2}[Interpréter un système de deux équations linéaires \MethodeRefExercice*{2G4_E_systeme}\label{2G4_M_systeme}%à\MethodeRefExercice{2G5_systeme2}
]
 Lors de la \textbf{résolution} d'un système de deux équations linéaires du premier degré à deux inconnues avec des coefficients non nuls,  chaque équation peut se transformer en une équation réduite de droite. \textbf{Résoudre un tel système} revient à  chercher les éventuels points d'intersection de deux droites à partir de leurs équations réduites.
Ces deux droites peuvent être:
\begin{itemize}
 \item \textbf{sécantes} (coefficients directeurs différents). Le système a une \textbf{unique}  solution. 
\item \textbf{confondues} (même équation réduite). Le système a une \textbf{infinité} de solutions.
\item \textbf{strictement parallèles}. Le système n'a \textbf{aucune} solution. 
\end{itemize}

% 
% {\bfseries Si les deux coefficients directeurs sont différents}, les deux équations sont celles de deux droites sécantes et la solution du système est le couple des coordonnées de leur point d'intersection. (figures 2 et 4)
% 
% {\bfseries Si les deux coefficients directeurs sont identiques et  les ordonnées à l'origine différentes}, les deux équations sont celles de deux droites parallèles qui n'ont pas de point d'intersection. Donc le système n'a pas de solution.(figure 3)
% 
% {\bfseries Si les deux coefficients directeurs sont identiques et  les ordonnées à l'origine aussi}, les deux équations sont celles de la même droite. 
% 
% Les solutions du système sont les coordonnées de tous les points de cette droite. Il y en a une infinité.


\exercice Résoudre les systèmes. 
% \begin{colenumerate}{3}
\begin{colenumerate}{2}
 \item
   {$\left\lbrace \begin{array}{r@{~x~}r@{~y~}@{~=~}l}
                 5&+~2&2\\ 15&+~6&4
                \end{array}\right.$}          
 \item  
{$\left\lbrace \begin{array}{r@{~x~}r@{~y~}@{~=~}l}
                 6&+~2&9\\2&-&-3
                \end{array}\right.$}    
\end{colenumerate}
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}                
 \item  
{$\left\lbrace \begin{array}{r@{~x~}r@{~y~}@{~=~}l}
                 3&-~6&18\\&-~2&6
                \end{array}\right.$}
\end{enumerate}
%                 \end{colenumerate}
\vspace{-1em}
\correction
\begin{enumerate}
\item   
%{$\left\lbrace \begin{array}{r@{x~}r@{y~}@{~=~}l}
 %                5&+~2&2\\ 15&+~6&4
 %               \end{array}\right.$}
 Le système devient
  {$\left\lbrace \begin{array}{r@{~y~=~}r@{~x~}l}
                 &-~\dfrac{5}{2}&+~1\\&-~\dfrac{\TopStrut 5}{\BotStrut 2}&+~\dfrac{2}{3}
                \end{array}\right.$}
%  puis en 
%   $\left\lbrace \begin{array}{r@{y~=~}r@{x~}l}
%                 2&-~5&+~2\\6&-~15&+~4
%                 \end{array}\right.$ soit: 
%    $\left\lbrace \begin{array}{r@{y~=~}r@{x~}l}
%                  &-~\dfrac{5}{2}&+~\dfrac{2}{2}\\&-~\dfrac{15}{6}&+~\dfrac{4}{2}
%                \end{array}\right.$
%      
\\On reconnaît deux équations de droites parallèles non confondues (figure 3), ce système n'a pas de solution. 
              % ${\cal S}~=~\emptyset$             
\item  
{$\left\lbrace \begin{array}{r@{x~}l@{y~}@{~=~}l}
                 6&+~2&9\\2&-&-3
                \end{array}\right.$}
%       se transforme en $\left\lbrace\begin{array}{r@{y~=~}r@{x}l}
%  2 & -6&~+~9\\                                                         
% &2&~+~3                                                         \end{array}
% \right.$ %soit 
% puis devient
% $\left\lbrace\begin{array}{r@{y~=~}r@{x}l}
% & -\dfrac{6}{2}&~+~\dfrac{9}{2}\\                                                         
% &2&~+~3                                                         \end{array}
% \right.$
%  soit 
devient
{$\left\lbrace\begin{array}{r@{y~=~}r@{x}l}
& -3&~+~\dfrac{9}{\BotStrut 2}\\                                                         
&2&~+~3                                                         \end{array}
\right.$ } 

On reconnaît deux équations de droites sécantes (figure 4).   

La solution de ce système est unique. 

%\begin{array}{rcl}
$ -3x+\dfrac{9}{2}=2x+3$
% \\
% 2x+3x&=&\dfrac{9}{2}-3 \\
% 5x&=&\dfrac{3}{2}\\
donne $x=\dfrac{3}{10}$ 
%\\ \end{array}$
%\hfill
%$\begin{array}{rcl}
\\ et $ y=2x+3$
%\\ &=&2~\times~\dfrac{3}{10}~+~3 \\
% &=&\dfrac{3}{5}~+~\dfrac{15}{5} \\
donne $y =\dfrac{18}{\BotStrut 5}$. 

% \end{array}
La solution %de ce système 
est le couple $  \left(\dfrac{\TopStrut 3}{\BotStrut 10} ;\dfrac{18}{5} \right)$.

\item   
{$\left\lbrace \begin{array}{r@{~x~}r@{~y~}@{~=~}l}
                 3&-~6&18\\&-~2&6
                \end{array}\right.$}
%                se transforme en   $\left\lbrace \begin{array}{r@{~y~=~}l@{~x~}r}
%                  6&3&-~18\\-2&-&+~6
%                 \end{array}\right.$ puis 
devient 
{$\left\lbrace \begin{array}{r@{~y~=~}l@{~x~}r}
                 &\dfrac{\TopStrut 1}{\BotStrut 2}&-~3\\&\dfrac{\TopStrut 1}{\BotStrut 2}&-~3
                \end{array}\right.$ }
              
 Il   s'agit de la même équation de droite. Les solutions sont les couples de coordonnées de tous les points de la droite d'équation
     $y~=~\dfrac{1}{2}x~-~3$.
\end{enumerate}
\end{methode*2}
