\begin{exercice}[Droites concourantes]

On considère, dans un repère orthonormé $(O;I;J)$, \\trois points $A(1;7)$, $B(-5;-5)$ et $C(7;-1)$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
Déterminer les coordonnées des points $A'$, $B'$ et $C'$, milieux respectifs des segments $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$.
\item
Déterminer l'équation réduite des droites $(AA')$ et $(BB')$.
\item
Déterminer les coordonnées de leur point d'intersection $K$.
\item
Montrer, par le calcul, que $K$ appartient à la droite $(CC')$.
\item
Quel théorème classique de géométrie aurait permis de démontrer le résultat précédent?
\item
Montrer que $K$ est situé aux deux-tiers des segments $[AA']$, $[BB']$ et $[CC']$ en partant des points $A$, $B$ et $C$.
\end{enumerate}
\item
Calculer les distances $OA$, $OB$, et $OC$. Que peut-on en déduire pour le point $O$?
\item
On considère le point $H(3;1)$.
\begin{enumerate}
\item
Soit $A_1(4;-2)$. \\Montrer que $A$, $H$ et $A_1$ sont alignés.
\item
Soit $C_1(-1;3)$. \\Montrer que $C$, $H$ et $C_1$ sont alignés.
\item
Montrer que les triangles $AA_1C$ et $CC_1A$ sont des triangles rectangles.
\item
Que peut-on en déduire sur le point $H$ ?
\end{enumerate}
\item
Montrer que les points $O$, $K$ et $H$ sont alignés.
\item
Rechercher  la définition de la droite d'Euler.
\end{enumerate}
\end{exercice}
