\begin{exercice}[Points alignés : deux méthodes]
On considère le triangle $ABC$. $R$ est un point de $(AB)$, $S$  un point de $(AC)$ et $T$ un point de $(BC)$.
\begin{center}

\begin{tikzpicture}[general, xscale=0.3,yscale=0.2]
\draw (0,0)-- (3,9);
\draw (3,9)-- (10,0);
\draw (10,0)-- (0,0);
\draw (-5,0)-- (5.8,5.4);
\draw (-5,0)-- (10,0);
\draw  (0,0) node {$\bullet$} node[below] {$A$};
\draw (10,0) node {$\bullet$} node[below] {$B$};
\draw  (3,9) node {$\bullet$} node[above] {$C$};
\draw (-5,0) node {$\bullet$} node[below] {$R$};
\draw  (5,0) node {$\bullet$};
\draw  (1,3) node {$\bullet$}node[above left] {$S$};
\draw  (2,6) node {$\bullet$} circle (1.5pt);
\draw  (7.2,3.6)node {$\bullet$};
\draw (5.8,5.4) node {$\bullet$}node[right]{$T$};
\draw (4.4,7.2) node {$\bullet$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-0,5em}
\`A partir de la figure, déterminer les valeurs des réels \\$\alpha$, $\beta$ et $\gamma$ tels que :
\begin{colitemize}{3}
\item $\vv{AR}=\alpha\vv{AB}$
\item $\vv{AS}=\beta\vv{AC}$
\item $\vv{BT}=\gamma\vv{BC}$
\end{colitemize}
Dans la suite, on se propose de démontrer que les points $R$, $S$ et $T$ sont alignés en utilisant deux méthodes.
\partie[méthode géométrique]
Dans cette partie, on utilise des égalités vectorielles.
\begin{enumerate}
\item Montrer que 
\begin{colenumerate}{2}
\item $\vv{RS}=\dfrac{1}{2}\vv{AB}+\dfrac{\TopStrut 1}{\BotStrut 3}\vv{AC}$;
\item $\vv{AT}= \dfrac{2}{5}\vv{AB}+\dfrac{3}{\BotStrut 5}\vv{AC}$.
\end{colenumerate}
%\textit{Indication : on pourra écrire } $\overrightarrow{AT}= \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BT}$.
\item En déduire une expression du vecteur $\vv{RT}$ en fonction des vecteurs $\vv{AB}$ et $\vv{AC}$.
\item Vérifier que $\vv{RS}=\dfrac{\TopStrut 5}{9}\vv{RT}$. Conclure.
\end{enumerate}
\partie[méthode analytique]
On considère le repère $(A;B,C)$.
\begin{enumerate}
\item Donner les coordonnées des points suivants: $A$, $B$, $C$, $S$ et $R$.
\item Calculer les coordonnées du point $T$.
\item Montrer que les coordonnées de $\vv{ST}$ sont $\left(\dfrac{\TopStrut 2}{\BotStrut 5};\dfrac{4}{15}\right)$.
\item Montrer que les vecteurs $   \vv {ST}$ et $\vv {SR}$ sont colinéaires.
\item Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}