
\begin{TP}[Droite d'Euler]
\partie{Préliminaires}
%\begin{colonne*exercice}
Dans un plan d'un repère orthonormal $(A;I,J)$.
\begin{enumerate}
 \item Placer les points  $B(6;6)$ et $C(18;0)$.
 \item Construire le triangle $ABC$.
 \item Placer les points $A'$, le milieu de $[BC]$, $B'$, le milieu de $[AC]$, et 
  $C'$, le milieu de $[AB]$.
\end{enumerate}
%\end{colonne*exercice}

\partie{Un point spécial}
\vspace{-1.5em}
\begin{enumerate}
 \item Calculer les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
 \item Calculer les coordonnées du point $G$ tel que $\vv{AG}=\dfrac{2}{3}\vv{AA'}$. Le placer sur la figure.
 \item Vérifier que le point $G$ est aligné avec $B$ et $B'$.
 \item Vérifier que le point $G$ est aligné avec $C$ et $C'$.
 \item Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$?
\end{enumerate}


\partie{Centre du cercle circonscrit}
\vspace{-1.5em}
%\begin{colonne*exercice}
 \begin{enumerate}
  \item Construire les trois médiatrices du triangle $ABC$. 
  \item Placer $O$ leur point de concours, le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
  \item L'une des médiatrices est parallèle à l'un des axes du repère. \\
 Lequel? Et pourquoi? En déduire l'une des coordonnées du point $O$.
 \item Sachant que $OA=OB$, calculer l'autre coordonnée du point $O$.
%  \item En observant la figure, déduire un intervalle contenant l'autre coordonnée. 
%%  \item En utilisant la propriété d'équidistance des points d'un cercle par rapport au centre, écrire une double égalité vérifiée par l'autre coordonnée du point $O$.
% \item \'Ecrire une double égalité vérifiée par l'autre coordonnée du point $O$.
%  \item Programmer un tableur avec cette double égalité et trouver la deuxième coordonnée du point $O$. 
 \end{enumerate}
%\end{colonne*exercice}

\partie{Orthocentre}
\vspace{-1.5em}
%\begin{colonne*exercice}
\begin{enumerate}
  \item Construire les trois hauteurs du triangle.
  \item Placer leur point de concours, $H$, orthocentre du triangle $ABC$.   
  \item L'une des hauteurs est parallèle à l'un des axes du repère.  \\
   Lequel? Et pourquoi? En déduire l'une des coordonnées du point $H$.
  \item Expliquer pourquoi les droites $(AH)$ et $(OA')$ sont parallèles. 
  \item En déduire que les vecteurs $\vv{AH}$ et $\vv{OA'}$ sont colinéaires.
  \item Déterminer le nombre $k$ tel que $\vv{AH}~=~k\times \vv{OA'}$.
  \item En déduire la deuxième coordonnée du point $H$.
\end{enumerate}
%\end{colonne*exercice} 
 
\partie{Droite d'Euler}
\`A partir de leurs coordonnées déterminées dans les parties \textbf{\textcolor{J1}{1}} à \textbf{\textcolor{J1}{4}},\\ vérifier que les points $G$, $O$ et $H$ sont alignés sur une droite qu'on appelle {\bfseries la droite d'Euler}.
\end{TP}
\vspace{1,5em}
\begin{cadre}[A1][A4]
%\begin{multicols}{2}
\textcolor{A1}{\textbf{Leonhard Paul Euler}}, né le 15 avril 1707 à Bâle (Suisse) et mort à 76 ans, le 18 septembre 1783, à Saint-Pétersbourg (Empire russe), est un mathématicien et physicien suisse. 
%Euler est considéré comme un  des plus prolifiques mathématicien de tous les temps. 
Il a aussi montré que, pour tout triangle, les neuf points suivants:
%\begin{itemize}
%\item     
les pieds des trois hauteurs,
%\item     
les milieux des trois côtés et
%\item     
les milieux de chacun des segments reliant l'orthocentre aux sommets du triangle
%\end{itemize}
sont situés sur un même cercle dit « cercle d'Euler ».
%\end{multicols}
\end{cadre}



