\begin{preuve}\textit{\footnotesize La démonstration qui suit 
se fait dans le cadre de la figure proposée. Une position différente des points dans le repère induirait d'autres calculs, mais le résultat resterait le même.}

La figure est obtenue en plaçant dans le même repère $A$, $B$ et $C$ de coordonnées $(x_B;y_A)$. 
\begin{multicols}{2}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=0.65]
\axeX{-1}{8}{1}
\axeY{-1}{6.3}{1}
\origine
\draw[color=C1, loosely dashed] (0,2)-- (2,2);
\draw[color=C1, loosely dashed] (0,5)-- (6,5);
\draw[color=C1, loosely dashed] (2,2)-- (2,0);
\draw[color=C1, loosely dashed] (6,2)-- (6,0);
\draw[color=C1] (2,0) node[below] {{\boldmath $x_A$}};
\draw[color=C1] (6,0) node[below] {{\boldmath $x_B$}};
\draw[color=C1] (0,2) node[left] {{\boldmath $y_A$}};
\draw[color=C1] (0,5) node[left] {{\boldmath $y_B$}};
\draw (2,2)-- (6,5);
\draw (6,5)-- (6,2);
\draw[color=C1, <->] (6.2,5)-- (6.2,2);
\draw[color=C1] (6.2,3.5) node[right] {{\boldmath $y_B-y_A$}};
\draw (6,2)-- (2,2);
\draw[color=C1, <->] (6,1.8)-- (2,1.8);
\draw[color=C1] (4,1.8) node[below]
{{\boldmath $x_B-x_A$}};
\draw (2,2) node[below left] {$A$};
\draw (6,5) node[above right] {$B$};
\draw (6,2) node[below right] {$C$};
\end{tikzpicture}
\columnbreak

Le repère étant \textbf{orthonormé}, les axes sont perpendiculaires donc le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ et on peut utiliser la relation de Pythagore:  $AB^2=AC^2+CB^2$. 

Comme le repère est \textbf{orthonormé}, $x_B-x_A$ et $y_B-y_A$ sont exprimés dans la même unité, donc on peut écrire:


$AB^2=(x_C-x_A)^2+(y_B-y_C)^2$.

Une longueur est toujours positive donc:  

$AB=\sqrt{\left( x_B-x_A\right)^2+ \left( y_B-y_A\right)^2}$.
\end{multicols}

\begin{remarque}
 La condition d'\textbf{orthonormalité} du repère est primordiale pour cette démonstration. Elle est fausse pour tout autre type de repère. 
\end{remarque}
\end{preuve}
