\begin{exercice}[Théorème de Varignon]
Soit quatre points du plan $A$, $B$, $C$ et $D$. \\$I$, $J$, $K$ et $L$ sont les milieux respectifs  des côtés\\ $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[AD]$ du quadrilatère $ABCD$.
\partie[conjecture]
Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique.
\begin{enumerate} 
\item Faire une figure.
\item Déplacer les points $A$, $B$, $C$ ou $D$.\\ Que peut-on conjecturer?
\end{enumerate}
Pour la démontrer, on choisit de définir un repère et d'exprimer les coordonnées des points dans ce repère. 
\partie[un cas particulier]
Soit le repère $(A;B,D)$. Dans cette partie, les points sont disposés comme sur la figure ci-dessous, aux n\oe uds du réseau.
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[general, yscale=0.4, xscale=0.7]
\foreach \a/\b/\c/\d  in {0/3/1/6, 0/0/2/6, 1/0/3/6, 2/0/4/6, 3/0/5/6, 4/0/6/6, 5/0/7/6, 6/0/8/6, 7/0/9/6, 8/0/10/6, 9/0/10/3, 0/0/10/0, 0/1/10/1, 0/2/10/2, 0/3/10/3, 0/4/10/4, 0/5/10/5, 0/6/10/6} {\draw (\a,\b)--(\c,\d);}
 \draw (0,0) node[color=B1] {\large $\bullet$};
 \draw (4,0) node[color=B1] {\large $\bullet$};
 \draw (0.67,2) node[color=B1] {\large $\bullet$};
 \draw (6.67,5) node[color=B1] {\large $\bullet$};
 \draw (0,0) node[color=B1, below] { $A$};
 \draw (4,0) node[color=B1, below] { $B$};
 \draw (0.67,2) node[color=B1, above left] { $D$};
 \draw (6.67,5) node[color=B1, above right] { $C$};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\vspace{-1.5em}
\begin{enumerate} 
\item Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$.
\item Calculer les coordonnées des milieux $I$, $J$, $K$ et $L$.
\item Démontrer la conjecture de la partie précédente dans ce cas particulier.
\end{enumerate}
\vspace{-1em}
\partie[cas général]
Soit le repère $(A;B,D)$ et on note $(a;b)$ les coordonnées du point $C$ dans ce repère. 
\begin{enumerate} 
%\item Donner les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$\\ en fonction de $a$ et $b$.
\item Calculer les coordonnées des milieux $I$, $J$, $K$ et $L$ \\en fonction de $a$ et $b$.
\item Démontrer la conjecture.
%\item 
\end{enumerate}
\partie[sans coordonnées]Comment pouvait-on démontrer ce théorème sans utiliser les coordonnées?
\end{exercice}
