
\begin{exercice}[Médiane]
 Dans un vieux livre, Mongi trouve la formule donnant la longueur des médianes d'un triangle en fonction des longueurs de ces trois côtés.
 $$L^2=\dfrac{1}{4}\left( 2a^2+2b^2 - c^2\right)$$
 \begin{center}
  \begin{tikzpicture}[general,scale=0.8]
   \draw (0,0)--(6,0)--(2,3)--cycle;
   \draw[color=C1] (2,3)--(3,0);
   \draw (0,0) node[left] {$A$};
   \draw (6,0) node[right] {$B$};
   \draw (2,3) node[above] {$C$};
   \draw (4,1.5) node[above right, color=A1] {{\boldmath $a$}};
   \draw (1,1.5) node[above left, color=A1] {{\boldmath $b$}};
   \draw (3,0) node[below, color=A1] {{\boldmath $c$}};
   \draw (3,0) node[above right] {$I$};
   \draw (1.5,0) node[rotate=90, color=C1] {{\boldmath $\approx$}};
   \draw (4.5,0) node[rotate=90, color=C1] {{\boldmath $\approx$}};
   \draw (2.5,1.5) node[right, color=A1] {{\boldmath $L$}};
  \end{tikzpicture}
 \end{center}

Mongi est curieux de la preuve de cette formule.  \\ On se place dans un repère orthonormé d'origine $A$ \\où $(AB)$ est l'axe des abscisses.
\begin{enumerate}
 \item Quelles sont les coordonnées de $A$ et de $B$?
 \item Quelles sont les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$?
 \item On note $(x_C;y_C)$, les coordonnées du point $C$.\\
 Vérifier que : $$L^2=IC^2=x_C^2+y_C^2-cx_C+\dfrac{c^2}{4}$$
 \item Calculer  $a^2$ et $b^2$ en fonction de $x_C$, $y_C$ et de $c$.\\ Donner les résultats sous forme développée.
 \item \'Etablir la formule du livre de Mongi.
\end{enumerate}

\end{exercice}