\begin{TP}[Chapeau chinois][\tice]
%\vspace{0.5em}
% \parbox{0.49\linewidth}{
% On a dessiné ci-contre un patron de cône.
% \partie[Manipuler]
% Construire un cône en prenant \mbox{$r=\ucm{10}$} et $\alpha=45^\circ$. Calculer le volume du cône ainsi construit.
% }
%\vspace{0.5em}
\partie{\'Etablir une formule}
\vspace{-1em}
\begin{enumerate} 
\parbox{0.70\linewidth}{\item La longueur de l'arc de cercle, en rouge sur la figure, correspond au périmètre de la base du cône une fois formé et il est proportionnel à l'angle au centre $\beta$ ($\beta=360\degremm-\alpha)$.\\
\'Etablir que le rayon de la base du cône en fonction de $r$ et $\alpha$ est:\\
		$\mathcal{R}(r,\alpha) = r \left( 1 - \dfrac{\TopStrut \alpha}{\BotStrut \BotStrut 360} \right).$
		\item La longueur de la génératrice du cône est le rayon $r$\\ du patron.
Montrer que la hauteur du cône en fonction de $r$ et $\alpha$ est :
		$\mathcal{H}(r,\alpha) = r \sqrt{1-\left(1-\dfrac{\TopStrut \alpha}{\BotStrut \BotStrut 360}\right)^2}.$}\hfill\parbox{0.25\linewidth}{
\begin{tikzpicture}[general, scale=0.3]
\shorthandoff{:}
%\clip(-5,-5.36) rectangle (5,5);
\draw [shift={(0,0)},color=black] (0,0) -- (25.54:1.3) arc (25.54:66.59:1.3) -- cycle;  %marque de l'angle alpha

\draw (1.99,4.59)-- (0,0); %rayon de gauche
\draw (4.51,2.16)-- (0,0); %rayon de droite
\draw [shift={(0,0)},epais,color=F1, samples=200]  plot[domain=-5.12:0.45,variable=\t]({1*5*cos(\t r)+0*5*sin(\t r)},{0*5*cos(\t r)+1*5*sin(\t r)}); %arc de cercle en trait plus gras
%\begin{scriptsize}
\draw (0,2.5) node[anchor=south west] {{\boldmath $r$}};
\draw[color=black] (1.38,1.19) node {{\boldmath $\alpha$}};
%\end{scriptsize}
\end{tikzpicture}}
		\item Déduire des questions précédentes le volume $\mathcal{V}(r,\alpha)$ du cône en fonction de $r$ et $\alpha$. %R´eponse :
		%$\mathcal{V}(r,\alpha) = \dfrac{1}{3} \pi r^3 \left(1-\dfrac{\alpha}{360}\right)^2\sqrt{1-\left(1-\dfrac{\alpha}{360}\right)^2}.$
		%\item Vérifier la formule trouvée en calculant $\mathcal{V}(10;45)$.
\end{enumerate}
\partie{Optimiser} On fixe $r=\ucm{10}$. Estimer, au degré près,  la valeur de l'angle $\alpha$ pour laquelle le volume est maximum en utilisant l'outil numérique de votre choix.


\end{TP}
