\begin{propriete}Soit $a$, $\alpha$, $\beta$ trois nombres réels et $f$ une fonction trinôme définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$. La courbe représentative de cette fonction est une parabole qui admet un axe de symétrie: la droite d'équation $x=\alpha$.
\end{propriete}

 \begin{preuve}
La preuve est disponible en complément sur le manuel numérique.
%  Soit $a$, $\alpha$, $\beta$ trois nombres réels et une trinôme $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$.\\
% Soit $x$ un nombre réel. On note:
% \begin{itemize}
% \item  $X$ le point de coordonnées $(x;0)$;
% \item $X'$ le symétrique du point $X$ par rapport à l'axe des abscisse et $(x';0)$ ses coordonnées;
% \item $I$ le milieu de  $[XX']$. $I$ appartient aussi à l'axe des abscisses, on note $(\alpha;0)$ ses coordonnées.
% \end{itemize}
% On a $\alpha=\dfrac{\TopStrut x+x'}{\BotStrut 2}$ et on en déduit que $x'=2\alpha-x$ et
% $f(x')=f(2\alpha-x)=a\left(2\alpha-x-\alpha\right)^2+\beta$.\\
% On en déduit $f(x')=f(x)$.
% Ainsi, deux points ayant des abscisses symétriques par rapport à la droite d'équation $x=\alpha$ ont la même ordonnée.\\ La parabole est bien symétrique par rapport à la droite d'équation $x=\alpha$.
\end{preuve}
