 
\begin{propriete}[Signes]Soit $a$, $\alpha$, $\beta$ trois nombres réels et $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$.\\
Le signe d'une fonction trinôme dépend du signe de $a$ et du signe de $\beta$.
\begin{itemize}
 \item Si $a<0$ et $\beta\leqslant 0$, alors la fonction est toujours négative.
 \item Si $a>0$ et $\beta\geqslant 0$  alors la fonction est toujours positive.
 \item Dans les autres cas,  
\begin{itemize}
 \item  la fonction change de signe  sur l'intervalle $]-\infty; \alpha[$;
\item  la fonction change à nouveau de signe  sur l'intervalle $]\alpha; +\infty[$.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{preuve}
Les tableaux de variations établis précédemment prouvent la propriété.\\
%$f(x)-f(\alpha)=a(x-\alpha)^2$.
%Le signe de $f(x)-f(\alpha)$ dépend du signe de $a$ car $(x-\alpha)^2$ est positive sur $\mathbb{R}$.
%Si $a>0$, $f(x)-f(\alpha)>0$ donc $f(x)>f(alpha)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
%et $f$ admet un minimun en $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
%Si $a<0$, $f(x)-f(\alpha)<0$ donc $f(x)<f(\alpha)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
%et $f$ admet un maximun en $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
\end{preuve}
