\begin{propriete}[Extremum]
Soit $a$, $\alpha$, $\beta$ trois nombres réels.\\
$f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique \\$f(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$.\\
Sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ admet  $\beta$ comme extremum. Il est atteint pour  $x=\alpha$.
\begin{itemize}
\item C'est un maximum si $\alpha$ est négatif.
\item C'est un minimum si $\alpha$ est positif.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{preuve}
Les tableaux de variations établis précédemment prouvent la propriété.
%$f(x)-f(\alpha)=a(x-\alpha)^2$.
%Le signe de $f(x)-f(\alpha)$ dépend du signe de $a$ car $(x-\alpha)^2$ est positive sur $\mathbb{R}$.
%Si $a>0$, $f(x)-f(\alpha)>0$ donc $f(x)>f(alpha)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
%et $f$ admet un minimun en $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
%Si $a<0$, $f(x)-f(\alpha)<0$ donc $f(x)<f(\alpha)$ pour tout $x$ de $\mathbb{R}$.
%et $f$ admet un maximun en $\alpha$ sur $\mathbb{R}$.
\end{preuve}
