\begin{propriete}[Sens de variations] Soit $a$, $\alpha$, $\beta$ trois nombres réels et $f$ une fonction polynôme de degré 2 définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$.\\
 Le sens de variation d'une fonction  dépend du signe de $a$.\\
\begin{tikzpicture}[xscale=0.6]
\tkzTabInit[lw=0.3mm, colorT=J3]%[colorT=couleurProprieteInterieur]
{$x$/1,$f$\\avec\\$a>0$/2}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{+/,-/$\beta$,+/}
\end{tikzpicture}\hfill
\begin{tikzpicture}[xscale=0.6]
\tkzTabInit[lw=0.3mm, colorT=J3]%[colorT=couleurProprieteInterieur]
{$x$/1,$f$\\avec\\$a<0$/2}{$-\infty$,$\alpha$,$+\infty$}
\tkzTabVar{-/,+/$\beta$,-/}
\end{tikzpicture}
\end{propriete}

\begin{preuve}
La preuve est disponible en complément sur le manuel numérique.
% Soit $a$, $\alpha$, $\beta$ trois nombres réels et $f$ une fonction polynomiale de degré 2  définie sur $\mathbb{R}$ par sa forme canonique $f(x)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta$.\\
%On considère le cas $a>0$.\\
%Soit $x_1$ et $x_2$ deux nombres du domaine de définition de $f$ tels que $x_1<x_2$.
% \begin{itemize}
%  \item Si $x_1<x_2<\alpha$   alors  $x_1-\alpha<x_2-\alpha<0$.
%
%Or, la fonction carrée est décroissante sur $\mathbb{R}^-$ donc $\left(x_1-\alpha\right)^2>\left(x_2-\alpha\right)^2>0$.
%
%%\begin{description}
%% \item[Si $a>0$] alors 
%$a$ est positif donc $a\left(x_1-\alpha\right)^2>a\left(x_2-\alpha\right)^2>0$.\\
%En ajoutant $\beta$, on obtient: $a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta>a\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta>\beta$.
%
%Soit $f(x_1)>f(x_2)>\beta$.\\ Donc $f$ est décroissante sur $]-\infty; \alpha]$.
%% 
%% \item[Si $a<0$] alors $a\left(x_1-\alpha\right)^2>a\left(x_2-\alpha\right)^2>0$
%% et 
%% $a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta>a\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta>\beta$
%% 
%% Soit
%% $f(x_1)>f(x_2)>\beta$
%% \end{description}
%
%  \item Si $\alph<x_1<x_2$  alors  $0<x_1-\alpha<x_2-\alpha$.
%
%%\begin{description}
%% \item[Si $a>0$] alors 
%
%Or, la fonction carrée est croissante sur $\mathbb{R}^+$ donc $0<\left(x_1-\alpha\right)^2<\left(x_2-\alpha\right)^2$.
%
%
%$a$ est positif donc $0<a\left(x_1-\alpha\right)^2<a\left(x_2-\alpha\right)^2$.\\
%En ajoutant $\beta$, on obtient: $\beta<a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta<a\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta$.\\
%Soit $\beta<f(x_1)<f(x_2)$.\\ Donc $f$ est croissante sur $[\alpha; +\infty[$.
%
%
%% 
%% \item[Si $a<0$] alors $0>a\left(x_1-\alpha\right)^2>a\left(x_2-\alpha\right)^2$
%% et 
%% $\beta>a\left(x_1-\alpha\right)^2+\beta>a\left(x_2-\alpha\right)^2+\beta$
%% 
%% Soit
%% $\beta>f(x_1)>f(x_2)$
%% \end{description}
%
% \end{itemize}
% On pourrait étudier de même le cas $a<0$.
\end{preuve}